Discuta a convergência das seqüências abaixo. a_{n}=e^{-n} \operatorname{sen} 5 n
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da sequência
a_{n}=e^{-n}\operatorname{sen}5n.
Perguntas que vamos responder: a sequência converge? Se converge, para qual limite? Listei as informações úteis dadas pelo enunciado:
A sequência é dada pelo produto de e^{-n} e \operatorname{sen}5n.
Sabemos (fato trigonométrico básico) que a função seno é limitada: \\ -1 \le \operatorname{sen}x \le 1 para todo x.
Sabemos (fato elementar de exponenciais) que \{e^{-n}\} é uma sequência positiva que decai para 0 quando n\to\infty (porque e^{-1}\in(0,1) e (e^{-1})^n\to0).
Passo 2
Usando a informação sobre o seno, escrevemos uma desigualdade que envolve a_n. Para todo n vale
-1 \le \operatorname{sen}5n \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por e^{-n} (que é positivo, logo o sentido da desigualdade não se inverte), obtemos
Agora examinamos o limite das sequências que aparecem nas bordas da desigualdade. Observação: e^{-n}=(e^{-1})^{n} e como 0<e^{-1}<1, a sequência geométrica (e^{-1})^{n} tende a 0. Portanto
Aplicamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se para todo n vale b_n \le a_n \le c_n e \lim b_n = \lim c_n = L, então \lim a_n = L. No nosso caso b_n=-e^{-n}, c_n=e^{-n} e L=0. Assim concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Passo 5
Para ficar bem formal, faço uma prova em \varepsilon-N. Dado \varepsilon>0, escolha N tal que
e^{-N} < \varepsilon.
Isto é possível porque e^{-n}\to0; explicitamente pode-se escolher
N > \ln\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)
e tomar, por exemplo, N=\left\lceil \ln\!\left(\tfrac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil. Para todo n\ge N temos
Isso mostra diretamente que \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Passo 6
Interpretação e intuição (sem pular etapas): a parte trigonométrica \operatorname{sen}5n oscila entre -1 e 1, ou seja, é limitada, mas não tem limite próprio. No entanto, o fator e^{-n} decai exponencialmente para 0. O produto de uma sequência limitada por uma que tende a 0 tende a 0. Assim a oscilação do seno fica “amortecida” pela potência decrescente e^{-n}, e o resultado final é que toda a sequência vai para zero. Observação adicional: a sequência não é monótona (por causa do seno), mas isso não impede convergência — todas as subsequências também convergem para 0.