Discuta a convergência das seqüências abaixo.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede que a convergência dela seja discutida. Ou seja, preciso responder se
converge ou diverge e, se converge, determinar seu limite. As informações relevantes que temos são somente a expressão explícita de
para
.
Passo 2
Primeiro passo prático (truque muito usado): quando temos uma diferença entre uma raiz grande e um termo grande, é útil multiplicar pelo conjugado para eliminar a raiz no numerador e obter uma forma mais manejável. Vou multiplicar e dividir por
:
O numerador é uma diferença de quadrados; desenvolvendo:
Portanto obtemos uma forma exata e simples:
Passo 3
Análise do sinal e de limites elementares a partir da forma obtida. Para todo
o denominador
é positivo (soma de duas quantidades positivas), logo
é sempre negativo:
Além disso, o denominador cresce com
(porque
aumenta quando
aumenta e
também aumenta). Definindo
temos
para todo
. Como
, disso segue que
. Portanto
é monotonicamente crescente (cada termo é maior que o anterior).
Passo 4
Agora limites e acotamento. Já vimos que
para todo
, então
é um majorante (um limite superior) da sequência. Também a sequência é crescente, então é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
. Resumindo:
-
é crescente; -
é limitada superiormente por .
Pelo Teorema do Valor Limite para sequências monotônicas, uma sequência crescente e limitada acima converge. Portantoconverge.
Passo 5
Cálculo do limite. A expressão racionalizada facilita o cálculo:
Como
o denominador tende a
, fica claro que
. Para justificar de modo um pouco mais formal, divido numerador e denominador por
:
O fator entre parênteses tem limite
quando
, logo
Como informação extra interessante (útil em provas): multiplicando por
e tomando limite,
o que mostra que
tende a
na escala de ordem
(ou seja,
).
Passo 6
Conclusão objetiva e incentivo rápido: a sequência é sempre negativa, cresce (aproxima-se de 0 vindo por valores negativos), é limitada acima por 0 e, portanto, converge. O limite é
. Vai dar certo na prova — o truque do conjugado é algo que vale decorar porque aparece sempre!
Resposta
A sequência converge e
.