Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\sqrt{4 n^{2}-1}-2 n

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
a_{n}=\sqrt{4 n^{2}-1}-2 n,
e pede que a convergência dela seja discutida. Ou seja, preciso responder se a_n converge ou diverge e, se converge, determinar seu limite. As informações relevantes que temos são somente a expressão explícita de a_n para n\in\mathbb{N}.

Passo 2

Primeiro passo prático (truque muito usado): quando temos uma diferença entre uma raiz grande e um termo grande, é útil multiplicar pelo conjugado para eliminar a raiz no numerador e obter uma forma mais manejável. Vou multiplicar e dividir por \sqrt{4 n^{2}-1}+2 n:
a_n=\sqrt{4 n^{2}-1}-2 n = \frac{\big(\sqrt{4 n^{2}-1}-2 n\big)\big(\sqrt{4 n^{2}-1}+2 n\big)}{\sqrt{4 n^{2}-1}+2 n}.
O numerador é uma diferença de quadrados; desenvolvendo:
\big(\sqrt{4 n^{2}-1}\big)^2-(2n)^2 = (4 n^{2}-1)-4 n^{2} = -1.
Portanto obtemos uma forma exata e simples:
\boxed{\,a_n = -\dfrac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1}+2 n}\,}.

Passo 3

Análise do sinal e de limites elementares a partir da forma obtida. Para todo n\ge1 o denominador \sqrt{4 n^{2}-1}+2 n é positivo (soma de duas quantidades positivas), logo a_n é sempre negativo:
a_n<0\quad\text{para todo }n\ge1.
Além disso, o denominador cresce com n (porque \sqrt{4 n^{2}-1} aumenta quando n aumenta e 2n também aumenta). Definindo
D_n=\sqrt{4 n^{2}-1}+2 n,
temos D_{n+1}>D_n>0 para todo n\ge1. Como a_n=-1/D_n, disso segue que a_{n+1}=-1/D_{n+1}>-1/D_n=a_n. Portanto \{a_n\} é monotonicamente crescente (cada termo é maior que o anterior).

Passo 4

Agora limites e acotamento. Já vimos que a_n<0 para todo n, então 0 é um majorante (um limite superior) da sequência. Também a sequência é crescente, então é limitada inferiormente por a_1 e limitada superiormente por 0. Resumindo:
  • \{a_n\} é crescente;
  • \{a_n\} é limitada superiormente por 0.
    Pelo Teorema do Valor Limite para sequências monotônicas, uma sequência crescente e limitada acima converge. Portanto \{a_n\} converge.

Passo 5

Cálculo do limite. A expressão racionalizada facilita o cálculo:
a_n = -\dfrac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1}+2 n}.
Como n\to\infty o denominador tende a +\infty, fica claro que a_n\to 0. Para justificar de modo um pouco mais formal, divido numerador e denominador por n:
a_n = -\dfrac{1}{n\big(\sqrt{4-\tfrac{1}{n^{2}}}+2\big)}.
O fator entre parênteses tem limite \sqrt{4}+2=2+2=4 quando n\to\infty, logo
\lim_{n\to\infty} a_n = -\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{4-\tfrac{1}{n^{2}}}+2} = 0.
Como informação extra interessante (útil em provas): multiplicando por n e tomando limite,
\lim_{n\to\infty} n a_n = -\dfrac{1}{4},
o que mostra que a_n tende a 0 na escala de ordem 1/n (ou seja, a_n\sim -\tfrac{1}{4n}).

Passo 6

Conclusão objetiva e incentivo rápido: a sequência é sempre negativa, cresce (aproxima-se de 0 vindo por valores negativos), é limitada acima por 0 e, portanto, converge. O limite é 0. Vai dar certo na prova — o truque do conjugado é algo que vale decorar porque aparece sempre!

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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