Discuta a convergência das seqüências abaixo.
a_{n}=\frac{n^{2}+10}{2 n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n^{2}+10}{2 n^{3}+1}
e pede para discutir a convergência. Ou seja:
  • Identificar se \{a_n\} converge ou diverge;
  • Se converge, encontrar o valor do limite \lim_{n\to\infty}a_n.
    Considerar que n\in\mathbb{N} e, se necessário, olhar o comportamento para n grande ( n\ge1).

Passo 2

Lembrete rápido do que significa “convergir”: a sequência \{a_n\} converge para L se, quando n\to\infty, os termos a_n ficam arbitrariamente próximos de L. Uma técnica prática para sequências dadas por quocientes de polinômios é comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador ou dividir ambos pelo maior potência de n presente no denominador. Isso mostra explicitamente quais termos dominam quando n cresce.

Passo 3

Vamos dividir numerador e denominador por n^{3} (a maior potência presente no denominador) para ver o comportamento quando n\to\infty:
a_n=\frac{n^{2}+10}{2n^{3}+1} =\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}}+\dfrac{10}{n^{3}}}{2+\dfrac{1}{n^{3}}} =\frac{\dfrac{1}{n}+\dfrac{10}{n^{3}}}{2+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Agora observe os termos que dependem de n: \dfrac{1}{n}\to0, \dfrac{10}{n^{3}}\to0 e \dfrac{1}{n^{3}}\to0 quando n\to\infty. Tomando limite:
\lim_{n\to\infty} a_n =\frac{0+0}{2+0} =0.
Portanto o candidato a limite é 0.

Passo 4

É útil também notar propriedades qualitativas da sequência (isso ajuda numa prova alternativa de convergência):
  • Positividade: para todo n\ge1 tem-se n^{2}+10>0 e 2n^{3}+1>0, logo \;a_n>0.
  • Monotonicidade (decrescente para n\ge1): considere a função real
f(x)=\frac{x^{2}+10}{2x^{3}+1},\qquad x>0.
Calculando a derivada:
f'(x)=\frac{2x(2x^{3}+1)-(x^{2}+10)\cdot6x^{2}}{(2x^{3}+1)^{2}} =\frac{-2x^{4}-60x^{2}+2x}{(2x^{3}+1)^{2}}.
O numerador pode ser escrito como
-2x^{4}-60x^{2}+2x=-2x\bigl(x^{3}+30x-1\bigr).
Para x\ge1 tem-se x^{3}+30x-1\ge1+30-1=30>0, logo o numerador é negativo e assim f'(x)<0 para x\ge1. Isso mostra que f é decrescente em [1,\infty), portanto os termos da sequência \{a_n\} formados por a_n=f(n) são decrescentes para n\ge1.
  • Como \{a_n\} é decrescente e inferiormente limitada por 0, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Pelo passo anterior o único limite possível é 0.

Passo 5

Resumo do raciocínio para usar na prova (curto e seguro):
  • Dividir por n^{3} mostra diretamente que \lim_{n\to\infty}a_n=0.
  • Alternativamente, mostrar que a_n>0 e que \{a_n\} é decrescente para n\ge1 garante convergência; combinando com o cálculo do limite obtém-se que a sequência converge para 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0

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