Discuta a convergência das seqüências abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para discutir a convergência. Ou seja:
- Identificar se
converge ou diverge; - Se converge, encontrar o valor do limite
.
Considerar quee, se necessário, olhar o comportamento para grande ( ).
Passo 2
Lembrete rápido do que significa “convergir”: a sequência
converge para
se, quando
, os termos
ficam arbitrariamente próximos de
. Uma técnica prática para sequências dadas por quocientes de polinômios é comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador ou dividir ambos pelo maior potência de
presente no denominador. Isso mostra explicitamente quais termos dominam quando
cresce.
Passo 3
Vamos dividir numerador e denominador por
(a maior potência presente no denominador) para ver o comportamento quando
:
Agora observe os termos que dependem de
:
,
e
quando
. Tomando limite:
Portanto o candidato a limite é
.
Passo 4
É útil também notar propriedades qualitativas da sequência (isso ajuda numa prova alternativa de convergência):
- Positividade: para todo
tem-se e , logo . - Monotonicidade (decrescente para
): considere a função real
Calculando a derivada:
O numerador pode ser escrito como
Para
tem-se
, logo o numerador é negativo e assim
para
. Isso mostra que
é decrescente em
, portanto os termos da sequência
formados por
são decrescentes para
.
- Como
é decrescente e inferiormente limitada por , pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas ela converge. Pelo passo anterior o único limite possível é .
Passo 5
Resumo do raciocínio para usar na prova (curto e seguro):
- Dividir por
mostra diretamente que . - Alternativamente, mostrar que
e que é decrescente para garante convergência; combinando com o cálculo do limite obtém-se que a sequência converge para .