Discuta a convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{2 n}}{n e^{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{2n}}{n e^{n} + 1}.
Vou chamar o termo geral de
a_n=\frac{e^{2n}}{n e^{n} + 1}.
A pergunta é: a série converge (soma finita) ou diverge?

Passo 2

Regra importante (teste da divergência / condição necessária): se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicando rapidinho por que: se a soma parcial S_n=\sum_{k=1}^n a_k tende a um número finito S, então a_n=S_n-S_{n-1}\to S-S=0. Logo, se \lim_{n\to\infty} a_n\neq 0 (ou é infinito), a série não pode convergir.

Passo 3

Vamos calcular o limite de a_n. Faço uma simplificação dividindo numerador e denominador por e^{n}:
a_n=\frac{e^{2n}}{n e^{n}+1}=\frac{e^{n}}{n+e^{-n}}.
Agora analiso o comportamento quando n\to\infty. Note que \lim_{n\to\infty} e^{-n}=0, então o denominador n+e^{-n} se comporta como n (tende a \infty), enquanto o numerador e^{n} tende a \infty muito mais rápido (exponencialmente). Para tornar isso rigoroso, observo que para n\ge 1 vale e^{-n}\le 1, então
n+e^{-n}\le n+1,
portanto
a_n=\frac{e^{n}}{n+e^{-n}}\ge \frac{e^{n}}{n+1}.

Passo 4

Mostro que \dfrac{e^{n}}{n+1}\to\infty. Considere a sequência b_n=\dfrac{e^{n}}{n+1}. O quociente entre termos sucessivos é
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{e^{n+1}/(n+2)}{e^{n}/(n+1)}=e\cdot\frac{n+1}{n+2}\xrightarrow[n\to\infty]{} e>1.
Como o quociente tende a uma constante maior que 1, a sequência b_n cresce exponencialmente e é não limitada, logo \lim_{n\to\infty} b_n = \infty. Pela desigualdade do passo anterior segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = \infty.

Passo 5

Pelo teste da divergência (Passo 2), se o termo geral não tende a 0 a série não pode convergir. Aqui a_n\to\infty (portanto não tende a 0), logo a série diverge.

Passo 6

Comentário didático rápido: às vezes vemos séries cujos termos tendem a zero e mesmo assim divergem (por exemplo a série harmônica). Mas o contrário é imediato: termos que não tendem a zero implicam divergência. No nosso caso o termo cresce muito (exponencialmente), então a divergência é óbvia.

Resposta

A série diverge, pois \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{e^{2n}}{n e^{n}+1}=\infty (portanto os termos não tendem a 0).

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