Discuta a convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergência da série
Informações relevantes dadas:
- A expressão do termo geral é
. - Observação importante: para
temos , logo o termo com não está definido. Portanto a série, como escrita, precisa ser interpretada a partir de . Vou, então, estudar a série
A pergunta é: essa série converge ou diverge?
Passo 2
Conceito-chave (teste necessário): se uma série
converge, então seu termo geral
deve tender a zero quando
. Esse é o teste do termo geral (ou teste da condição necessária). Em palavras: convergência da série ⇒
. A contrapositive útil: se
(por exemplo tende a uma constante diferente de zero, a um número finito não-nulo, ou diverge para
), então a série diverge. Esse teste não prova convergência, apenas é uma condição necessária.
Passo 3
Aplicar o teste do termo geral ao nosso
. Precisamos calcular
Uma maneira prática é passar para a variável contínua
e estudar
Note que isso é do tipo
, então podemos usar o L’Hôpital (regra de l’Hôpital). Para aplicar, considere
Derivando numerador e denominador:
Portanto
. Isso implica que
Logo, para a sequência discreta também vale
Passo 4
Interpretação: o termo geral
não só não tende a zero, como tende a
. Pelo teste do termo geral, a série de termos positivos
não pode convergir. Portanto a série diverge.
Passo 5
Comentário adicional (para seu entendimento prático): para verificar rapidamente numa prova, basta notar que
cresce muito mais rápido que
, então a razão
cresce sem limite — por isso os termos não vão para zero. Sempre que vir uma série cujo termo geral não tende a zero, pode já encerrar dizendo “diverge” sem testes mais sofisticados. Força aí — você chega lá!
Resposta
A série diverge (os termos gerais não tendem a zero:
).