Discuta a convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln n}

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln n}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do termo geral é \dfrac{n}{\ln n}.
  • Observação importante: para n=1 temos \ln 1=0, logo o termo com n=1 não está definido. Portanto a série, como escrita, precisa ser interpretada a partir de n=2. Vou, então, estudar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\ln n}.
A pergunta é: essa série converge ou diverge?

Passo 2

Conceito-chave (teste necessário): se uma série \sum a_n converge, então seu termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Esse é o teste do termo geral (ou teste da condição necessária). Em palavras: convergência da série ⇒ a_n\to 0. A contrapositive útil: se a_n\not\to 0 (por exemplo tende a uma constante diferente de zero, a um número finito não-nulo, ou diverge para \pm\infty), então a série diverge. Esse teste não prova convergência, apenas é uma condição necessária.

Passo 3

Aplicar o teste do termo geral ao nosso a_n=\dfrac{n}{\ln n}. Precisamos calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}.
Uma maneira prática é passar para a variável contínua x e estudar
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}.
Note que isso é do tipo \dfrac{\infty}{\infty}, então podemos usar o L’Hôpital (regra de l’Hôpital). Para aplicar, considere
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}.
Derivando numerador e denominador:
\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0. Isso implica que
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\ln x}=\frac{1}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}}=\frac{1}{0}=+\infty.
Logo, para a sequência discreta também vale
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}=+\infty.

Passo 4

Interpretação: o termo geral \dfrac{n}{\ln n} não só não tende a zero, como tende a +\infty. Pelo teste do termo geral, a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{\ln n}
não pode convergir. Portanto a série diverge.

Passo 5

Comentário adicional (para seu entendimento prático): para verificar rapidamente numa prova, basta notar que n cresce muito mais rápido que \ln n, então a razão \dfrac{n}{\ln n} cresce sem limite — por isso os termos não vão para zero. Sempre que vir uma série cujo termo geral não tende a zero, pode já encerrar dizendo “diverge” sem testes mais sofisticados. Força aí — você chega lá!

Resposta

A série diverge (os termos gerais não tendem a zero: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{\ln n}=+\infty).

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