o Lucro que uma empresa obtém, vendendo dois produtos A e B , é dado por
L(X, Y)=600-2 X^2-4 Y^2-3 XY+18 X+18 Y
Em que X e Y são as quantidades produzidas e vendidas. Obtenha os valores de X e Y que maximizam o lucro.

Passo 1

O enunciado dá o lucro como
L(X,Y)=600-2X^2-4Y^2-3XY+18X+18Y
e pede o ponto (X,Y) que o maximiza. Como não há restrições, vamos usar derivadas parciais para encontrar o ponto crítico e, em seguida, confirmar que é um máximo (função quadrática estritamente côncava).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e igualemos a zero:
partial Lpartial X=-4X-3Y+18=0,
partial Lpartial Y=-8Y-3X+18=0

Passo 3

O sistema fica
4X+3Y=18, 3X+8Y=18
Da primeira equação, X=(18-3Y)/4. Substituindo na segunda:
318-3Y4+8Y=18 Longrightarrow 54-9Y+32Y=72 Longrightarrow 23Y=18 Longrightarrow Y=1823
Então
X=18-3,(18/23)4 =36092 =9023

Passo 4

Para garantir que é máximo, veja a Hessiana:
H= partial^2 Lpartial X^2 & partial^2 Lpartial X partial Y [6pt] partial^2 Lpartial Y partial X & partial^2 Lpartial Y^2 = -4 & -3 -3 & -8
Seus menores principais são D1 = -4 < 0 e
D2 = det H = (-4)(-8) - (-3)^2 = 32 - 9 = 23 > 0,
logo H é negativa definida e o ponto crítico é de fato um máximo.]

Resposta

X=9023, Y=1823

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