Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(b) cdotx=x-3 y doty=4 x-6 y

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear planar
dotx = x - 3y, doty = 4x - 6y,
e pede para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio. O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares por meio dos autovalores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Para achar o(s) ponto(s) de equilíbrio, resolvemos
x - 3y = 0, 4x - 6y = 0
Da primeira equação vem x=3y. Substituindo na segunda:
4(3y)-6y = 12y-6y=6y=0 ;Longrightarrow; y=0,
logo x=3cdot0=0. Assim, o único equilíbrio é (0,0).

Passo 3

Escrevemos o sistema em forma matricial dotz=Az, com z=(x,y)^T e
A= 1 & -3 4 & -6
A estabilidade é decidida pelos autovalores de A, obtidos de det(A-lambda I)=0.

Passo 4

Calculando o polinômio característico, temos
det(A-lambda I) =(1-lambda)(-6-lambda)-(-3)cdot4 =lambda^2+5lambda+6=0
As raízes são
lambda1=-2, lambda2=-3
Como ambos lambda1,lambda2 são reais e negativos, o equilíbrio em (0,0) é um nó próprio assintoticamente estável (todas as soluções convergem exponencialmente para a origem).

Resposta

O único ponto de equilíbrio é (0,0), que é um nó próprio assintoticamente estável.

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