Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(b)
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear planar
e pede para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio. O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares por meio dos autovalores da matriz de coeficientes.
Passo 2
Para achar o(s) ponto(s) de equilíbrio, resolvemos
Da primeira equação vem x=3y. Substituindo na segunda:
4(3y)-6y = 12y-6y=6y=0 ;Longrightarrow; y=0,
logo x=3cdot0=0. Assim, o único equilíbrio é (0,0).
Passo 3
Escrevemos o sistema em forma matricial dotz=Az, com z=(x,y)^T e
A= 1 & -3 4 & -6
A estabilidade é decidida pelos autovalores de A, obtidos de det(A-lambda I)=0.
Como ambos lambda1,lambda2 são reais e negativos, o equilíbrio em (0,0) é um nó próprio assintoticamente estável (todas as soluções convergem exponencialmente para a origem).
Resposta
O único ponto de equilíbrio é (0,0), que é um nó próprio assintoticamente estável.