(a) Mostre que a matriz
A=(ll a & b c & d )
tem valores próprios lambda1=0, lambda2 neq 0 se e só se a d-b c=0 e a+d neq 0.
(b) Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio e descreva as curvas-soluções do sistema plano autônomo dotx=A x quando A tem valores próprios lambda1=0, lambda2 neq 0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (Parte a) Mostrar que a matriz
A=a & b c & d
tem valores próprios lambda1=0 e lambda2neq0 se e só se
det A=ad-bc=0 e trA=a+dneq0
  1. (Parte b) Dado o sistema linear autonômo
dot x = A,x,
descrever os pontos de equilíbrio e a estabilidade quando de fato lambda1=0,;lambda2neq0.
Para resolver precisamos usar:
  • O polinômio característico de A,
  • A relação entre traço, determinante e raízes do polinômio,
  • A forma geral da solução de dot x = A x em termos de autovetores e autovalores.

Passo 2

Sejam lambda1,lambda2 os autovalores de A. O polinômio característico é
det(A-lambda I) =a-lambda & b c & d-lambda =(a-lambda)(d-lambda)-bc =lambda^2-(a+d),lambda+(ad-bc)
Logo
lambda1+lambda2=a+d, lambda1,lambda2=ad-bc
Se queremos lambda1=0 e lambda2neq0, então
lambda1lambda2=0;Longrightarrow;ad-bc=0,
e
lambda1+lambda2=0+lambda2=a+dneq0;Longrightarrow;a+dneq0
Isso mostra “se lambda1=0,;lambda2neq0 então det A=0 e trAneq0”.
Reciprocamente, se ad-bc=0 e a+dneq0, o polinômio torna-se
lambda^2-(a+d)lambda= lambda,l(lambda-(a+d)r)=0,
cujo conjunto de raízes é 0,;a+d e, por a+dneq0, uma raiz é zero e a outra não.

Passo 3

Agora considere o sistema
dot x = A,x
Como lambda1=0 e lambda2neq0 são distintos, há dois autovetores lineares independentes v1,v2 tais que
A,v1=0cdot v1=0, A,v2=lambda2,v2
A solução geral é
x(t) = C1,v1 ;+; C2,e^lambda2t,v2,
com constantes C1,C2in R fixadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Pontos de equilíbrio são x tais que dot x=0, ou seja A,x=0. Isso ocorre exatamente quando x é múltiplo de v1. Logo o conjunto de equilíbrios é a reta
,C,v1mid Cin R
Estabilidade:
  • Se lambda2<0, então e^lambda2tto0 quando tto+infty, e toda solução tende a um ponto na reta de equilíbrios (não tende a um ponto isolado, mas se aproxima da direção v1). A reta é estável (atrai no subespaço de dimensão 1), porém não é assintoticamente estável como ponto isolado porque não há retração na direção de v1.
  • Se lambda2>0, então e^lambda2tto+infty e qualquer perturbação na direção v2 faz a solução escapar da reta de equilíbrios: é instável.
As curvas-solução são todas retas paralelas à combinação v1+kv2. Geometricamente, o feixe de trajetórias são linhas que partem da reta de equilíbrios e, conforme o sinal de lambda2, aproximam-se dela (caso estável) ou afastam-se dela (caso instável).

Resposta

(a) A condição lambda1=0,;lambda2neq0 é equivalente a
det A = ad - bc = 0 e trA = a+d neq 0
(b) O conjunto de equilíbrios é a reta C,v1 de autovetores de lambda1=0. As soluções são
x(t)=C1v1+C2e^lambda2tv2
Se lambda2<0, a reta é estável (trajectórias se aproximam dela); se lambda2>0, a reta é instável (trajectórias se afastam).

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