Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(a) cdotx=x+y doty=x-3 y

Passo 1

O enunciado pede para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio do sistema linear
dotx = x + y, doty = x - 3y
Este conteúdo envolve encontrar os pontos de equilíbrio e analisar os autovalores da matriz do sistema para classificar a estabilidade.

Passo 2

Os pontos de equilíbrio são obtidos resolvendo dotx=0 e doty=0, ou seja
x + y = 0, x - 3y = 0
Resolvendo este sistema, obtemos x = 0 e y = 0. Portanto há um único ponto de equilíbrio em (0,0).

Passo 3

Para analisar a estabilidade, calculamos a matriz de coeficientes do sistema linear:
A = 1 & 1 1 & -3
A estabilidade do equilíbrio em (0,0) depende dos autovalores de A.

Passo 4

Os autovalores de A satisfazem o polinômio característico
det(A - lambda I) = det1-lambda & 1 1 & -3-lambda = (1-lambda)(-3-lambda) - 1 = lambda^2 + 2lambda - 4 = 0
As raízes são
lambda = -2 pm raiz4 + 162 = -1 pm raiz5
Logo lambda1 = -1 + raiz5 > 0 e lambda2 = -1 - raiz5 < 0.

Passo 5

Como há um autovalor positivo e um negativo, o ponto (0,0) é um ponto de sela e, portanto, é instável.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é (0,0), que é um ponto de sela instável.

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