Exercício 1 (D.L.5.1)
Verifique para quais sistemas lineares x^prime=A x, com A in M2(R) em forma de Jordan, a origem é uma singularidade estável e para quais a origem é instável.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a estabilidade da origem no sistema linear
x' = A,x
em R^2, quando A já está em forma de Jordan. O conteúdo envolve autovalores de A, sua forma canónica de Jordan e o comportamento das soluções exp(At). Para decidir estabilidade (no sentido assintoticamente estável) basta olhar aos sinais das partes reais dos autovalores de A.

Passo 2

Identificamos as três formas de Jordan em dimensão 2 sobre R:
(i) Diagonal real: A=lambda1&00&lambda2,
(ii) Bloco de Jordan real duas vezes (lambda): A=lambda&10&lambda,
(iii) Par comp<=xo: A=alpha&-betabeta&alpha(betaneq0)

Passo 3

Caso (i). As soluções são
x1(t)=c1e^lambda1 t, x2(t)=c2e^lambda2 t
Logo
– assintoticamente estável se e só se lambda1<0 e lambda2<0;
– instável se pelo menos um dos dois satisfaz lambdai>0 (cresce exponencialmente, ou sela se sinais opostos).

Passo 4

Caso (ii). As soluções gerais satisfazem
x(t)=l(c1+c2,tr)e^lambda t, x2(t)=c2e^lambda t
Se lambda<0, e^lambda tto0 e também t,e^lambda tto0, logo assintoticamente estável. Se lambda>0, cresce exponencialmente e é instável. Se lambda=0, há direções em que x1 cresce linearmente (instável).

Passo 5

Caso (iii). Os autovalores são alphapm ibeta. As soluções giram com amortecimento ou expansão:
|x(t)|=e^alpha t|x(0)|
Logo
– assintoticamente estável (foco atrator) se alpha<0;
– instável (foco repulsor) se alpha>0;
– para alpha=0 ocorre órbita periódica (centro), que é apenas estável em Lyapunov mas não assintoticamente estável.

Resposta

A origem é uma singularidade assintoticamente estável se e só se todos os autovalores de A tiverem parte real negativa, isto é,
Re(lambda1)<0, Re(lambda2)<0
Nos três casos de Jordan:
(a) lambda1<0 e lambda2<0;
(b) bloco único com lambda<0;
(c) alpha<0.
Caso contrário (pelo menos um autovalor com parte real positiva ou igual a zero), a origem é instável.

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