Exercício 1 (D.L.5.1)
Verifique para quais sistemas lineares
em forma de Jordan, a origem é uma singularidade estável e para quais a origem é instável.
Verifique para quais sistemas lineares
Passo 1
O enunciado pede para classificar a estabilidade da origem no sistema linear
em
, quando
já está em forma de Jordan. O conteúdo envolve autovalores de
, sua forma canónica de Jordan e o comportamento das soluções
. Para decidir estabilidade (no sentido assintoticamente estável) basta olhar aos sinais das partes reais dos autovalores de
.
Passo 2
Identificamos as três formas de Jordan em dimensão
sobre
:
Passo 3
Caso (i). As soluções são
Logo
– assintoticamente estável se e só se e
;
– instável se pelo menos um dos dois satisfaz (cresce exponencialmente, ou sela se sinais opostos).
– assintoticamente estável se e só se
– instável se pelo menos um dos dois satisfaz
Passo 4
Caso (ii). As soluções gerais satisfazem
Se
,
e também
, logo assintoticamente estável. Se
, cresce exponencialmente e é instável. Se
, há direções em que
cresce linearmente (instável).
Passo 5
Caso (iii). Os autovalores são
. As soluções giram com amortecimento ou expansão:
Logo
– assintoticamente estável (foco atrator) se ;
– instável (foco repulsor) se ;
– para ocorre órbita periódica (centro), que é apenas estável em Lyapunov mas não assintoticamente estável.
– assintoticamente estável (foco atrator) se
– instável (foco repulsor) se
– para
Resposta
A origem é uma singularidade assintoticamente estável se e só se todos os autovalores de
tiverem parte real negativa, isto é,
Nos três casos de Jordan:
(a) e
;
(b) bloco único com ;
(c) .
Caso contrário (pelo menos um autovalor com parte real positiva ou igual a zero), a origem é instável.
(a)
(b) bloco único com
(c)
Caso contrário (pelo menos um autovalor com parte real positiva ou igual a zero), a origem é instável.