Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(e)
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear autônomo
dotx=-x+y+z, doty=-2y, dotz=-3z,
e pede para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio. Vamos usar teoria de sistemas lineares: encontrar os equilíbrios, calcular a matriz Jacobiana (aqui constante) e examinar os autovalores para classificar a estabilidade.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio, impomos dotx=0, doty=0 e dotz=0. Da segunda equação vem y=0, da terceira vem z=0 e da primeira, com y=z=0, vem x=0. Logo, o único ponto de equilíbrio é
(x,y,z)=(0,0,0)
Passo 3
A matriz Jacobiana A do sistema (coeficientes da parte linear) é constante e vale
A= -1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 0 & 0 & -3
Passo 4
Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=-1, lambda2=-2, lambda3=-3
Passo 5
A teoria diz que se todos os autovalores têm parte real negativa, o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável (sumidouro). Aqui Re(lambdai)<0 para i=1,2,3, logo o único equilíbrio (0,0,0) é um nó estável assintótico.
Resposta
O sistema tem um único ponto de equilíbrio em (0,0,0), que é assintoticamente estável.