Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
e^(2 y+x) d x-e^(2 x-y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
e^(2y+x),dx ;-;e^(2x-y),dy ;=;0
por variáveis separáveis. Vamos reconhecer que podemos escrever a equação na forma
e^2y+x,dx ;=;e^2x-y,dy
e a partir daí isolar tfracdydx para separar as variáveis.

Passo 2

Isolando tfracdydx, dividimos ambos os lados por dx e por e^2x-y:
dydx ;=; e^2y+xe^2x-y ;=; e^,2y + x -2x + y ;=; e^,3y - x

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x, colocando tudo em y de um lado e tudo em x do outro:
e^-3y,dy ;=; e^-x,dx

Passo 4

Integramos os dois lados. Lembrando que
integral e^a u,du = 1ae^a u,
temos
integral e^-3y,dy ;=;integral e^-x,dx ;Longrightarrow; -tfrac13e^-3y ;=; -e^-x ;+;C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por -1 e reescrevendo a constante, obtemos
tfrac13e^-3y ;=; e^-x + C1 Longrightarrow e^-3y = 3,e^-x + C,
com C=3C1.

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
boxede^-3y ;-; 3,e^-x ;=; C,
onde C é uma constante arbitrária.

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