Exercício 8 (D.L.5.11)
Dizemos que um ponto de equilíbrio
de um campo de vetores
do aberto
é uma fonte de
se a matriz
tem todos autovalores generalizados com parte real positiva. Dizemos que o ponto de equilíbrio
é assintoticamente instável se
é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para o campo oposto
, cujas trajetórias coincidem com as de
exceto pelo sentido de percurso. Use o Teorema 5.3 para mostrar que se
é uma fonte de
então
é uma singularidade assintoticamente instável para
.
Passo 1
O enunciado diz que
é ponto de equilíbrio de
e que é fonte, ou seja, todos os autovalores de
têm parte real positiva. Queremos mostrar que então
é uma singularidade assintoticamente instável de
, isto é, é assintoticamente estável para o campo oposto
. Para isso usaremos o Teorema 5.3, que afirma que, se um ponto de equilíbrio é hiperbólico (nenhum autovalor de
tem parte real zero), então o comportamento local de
em torno de
é qualitativamente igual ao do sistema linearizado
.
Passo 2
Como
é fonte de
, todos os autovalores
de
satisfazem
Considere agora o campo oposto
. A derivada em
é
Logo os autovalores de
são
, e para eles vale
Isso mostra que
é hiperbólico para
com todas as partes reais negativas.
Passo 3
Aplicando o Teorema 5.3 ao campo
, como
é hiperbólico com
, segue que
é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para
. Em outras palavras, as soluções de
partindo suficientemente próximas de
tendem a
quando
.
Passo 4
As trajetórias de
coincidem com as de
apenas invertendo o sentido do tempo. Portanto, se
atrai soluções de
para
, então em
essas mesmas soluções se afastam de
quando
. Isso é exatamente a definição de assintoticamente instável para
.