Exercício 8 (D.L.5.11)

Dizemos que um ponto de equilíbrio x0 de um campo de vetores f: E R^n do aberto E subset R^n é uma fonte de f se a matriz D f(x0) in Mn(R) tem todos autovalores generalizados com parte real positiva. Dizemos que o ponto de equilíbrio x0 é assintoticamente instável se x0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para o campo oposto -f, cujas trajetórias coincidem com as de f exceto pelo sentido de percurso. Use o Teorema 5.3 para mostrar que se x0 é uma fonte de f então x0 é uma singularidade assintoticamente instável para f.

Passo 1

O enunciado diz que x0 é ponto de equilíbrio de f:EtoR^n e que é fonte, ou seja, todos os autovalores de Df(x0) têm parte real positiva. Queremos mostrar que então x0 é uma singularidade assintoticamente instável de f, isto é, é assintoticamente estável para o campo oposto -f. Para isso usaremos o Teorema 5.3, que afirma que, se um ponto de equilíbrio é hiperbólico (nenhum autovalor de Df(x0) tem parte real zero), então o comportamento local de f em torno de x0 é qualitativamente igual ao do sistema linearizado dot x = Df(x0)(x - x0).

Passo 2

Como x0 é fonte de f, todos os autovalores lambdai de Df(x0) satisfazem
Re(lambdai)>0, i=1,dots,n
Considere agora o campo oposto -f. A derivada em x0 é
D(-f)(x0) ;=;-,Df(x0)
Logo os autovalores de D(-f)(x0) são -lambdai, e para eles vale
Re(-lambdai) = -,Re(lambdai) < 0
Isso mostra que x0 é hiperbólico para -f com todas as partes reais negativas.

Passo 3

Aplicando o Teorema 5.3 ao campo -f, como x0 é hiperbólico com Re(autovalores)<0, segue que x0 é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável para -f. Em outras palavras, as soluções de dot x=-f(x) partindo suficientemente próximas de x0 tendem a x0 quando tto+infty.

Passo 4

As trajetórias de -f coincidem com as de f apenas invertendo o sentido do tempo. Portanto, se x0 atrai soluções de -f para tto+infty, então em f essas mesmas soluções se afastam de x0 quando tto+infty. Isso é exatamente a definição de assintoticamente instável para f.

Resposta

x0 é uma singularidade assintoticamente instável para f.

Exercícios relacionados