Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(d) ldotx=x+y doty=x-y

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
dotx=x+y,\n doty=x-y
e pede para discutir a estabilidade dos seus pontos de equilíbrio. Vamos lembrar que, para sistemas lineares, basta encontrar a matriz Jacobiana constante, calcular seus autovalores e inferir a estabilidade.

Passo 2

Os pontos de equilíbrio satisfazem
x+y=0, x-y=0
Somando as duas equações obtemos 2x=0, logo x=0 e, em seguida, y=0. Portanto, há um único ponto de equilíbrio: (0,0).

Passo 3

A matriz Jacobiana do sistema é
J(x,y)= partialpartial x(x+y) & partialpartial y(x+y)[6pt] partialpartial x(x-y) & partialpartial y(x-y) = 1 & 1 1 & -1
Como o sistema é linear, essa é a matriz em qualquer ponto, inclusive em (0,0).]

Passo 4

Para encontrar os autovalores resolvemos
detl(J- lambda Ir) =det!1-lambda & 11 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-1
Expandindo, temos
(1-lambda)(-1-lambda)-1 =-(1-lambda^2)-1 =lambda^2-2
Logo a equação característica é
lambda^2-2=0

Passo 5

As raízes são
lambda = pmraiz2
Como há um autovalor positivo raiz2 e um negativo -raiz2, o ponto (0,0) é um ponto de sela: as trajetórias aproximam-se em uma direção e afastam-se em outra.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é (0,0), que é um ponto de sela e, portanto, instável.

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