Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(d)
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear \n
e pede para discutir a estabilidade dos seus pontos de equilíbrio. Vamos lembrar que, para sistemas lineares, basta encontrar a matriz Jacobiana constante, calcular seus autovalores e inferir a estabilidade.
Passo 2
Os pontos de equilíbrio satisfazem
Somando as duas equações obtemos , logo e, em seguida, . Portanto, há um único ponto de equilíbrio: .
Passo 3
A matriz Jacobiana do sistema é
Como o sistema é linear, essa é a matriz em qualquer ponto, inclusive em (0,0).]
Como há um autovalor positivo raiz2 e um negativo -raiz2, o ponto (0,0) é um ponto de sela: as trajetórias aproximam-se em uma direção e afastam-se em outra.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é (0,0), que é um ponto de sela e, portanto, instável.