Exercício 6 (D.L.5.6)
Mostre com um exemplo que se f é um campo de vetores não-linear tal que D f(0)=0, é possível ter
lim t infty x(t)=0
para toda solução de x^prime=f(x), sem que os autovalores de D f(0) tenham parte real negativa.

Passo 1

O enunciado pede um campo de vetores não-linear f em R^n (podemos tomar n=1) tal que Df(0)=0 (logo a linearização em 0 tem autovalor 0, sem parte real negativa), mas todas as soluções de
x' = f(x)
satisfaçam limttoinfty x(t) = 0. Vamos construir um exemplo simples em uma dimensão usando separação de variáveis.

Passo 2

Definimos
de modo que a equação diferencial fica
Este campo é claramente não-linear e suave em todo .

Passo 3

Para ver a linearização em 0, calculamos
Df(x) = f'(x) = -,3x^2,
então
Df(0) = -,3cdot 0^2 = 0
O único autovalor em 0 é 0, sem parte real negativa.

Passo 4

Resolvendo a EDO por separação de variáveis:
dxdt = -,x^3 Longrightarrow dxx^3 = -,dt
Integrando,
integral ! x^-3,dx = integral -,dt Longrightarrow -12x^2 = -,t + C Longrightarrow 12x^2 = t + C'
Logo
x(t) = pm 1raiz2t + C',
e portanto
limttoinfty x(t) = 0
para toda condição inicial finita.

Passo 5

Concluímos que a origem é globalmente assintoticamente estável (todas as soluções tendem a zero), embora a linearização em zero tenha autovalor 0 (sem parte real negativa).

Resposta

O campo de vetores
f(x) = -,x^3
é o exemplo desejado.

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