Exercício 6 (D.L.5.6)
Mostre com um exemplo que se
é um campo de vetores não-linear tal que
, é possível ter
para toda solução de
, sem que os autovalores de
tenham parte real negativa.
Mostre com um exemplo que se
Passo 1
O enunciado pede um campo de vetores não-linear
em
(podemos tomar
) tal que
(logo a linearização em
tem autovalor
, sem parte real negativa), mas todas as soluções de
satisfaçam
. Vamos construir um exemplo simples em uma dimensão usando separação de variáveis.
Passo 2
Definimos
de modo que a equação diferencial fica
Este campo é claramente não-linear e suave em todo .
Passo 3
Para ver a linearização em
, calculamos
então
O único autovalor em
é
, sem parte real negativa.
Passo 4
Resolvendo a EDO por separação de variáveis:
Integrando,
Logo
e portanto
para toda condição inicial finita.
Passo 5
Concluímos que a origem é globalmente assintoticamente estável (todas as soluções tendem a zero), embora a linearização em zero tenha autovalor
(sem parte real negativa).
Resposta
O campo de vetores
é o exemplo desejado.