Discuta a estabilidade dos pontos de equilibrio para cada um dos sistemas seguintes.
(f) cdotx=x+y+z doty=2 x dotz=3 z

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z)
dotx = x + y + z, doty = 2x, dotz = 3z,
e pede para discutir a estabilidade dos pontos de equilíbrio. Como é um sistema linear, basta achar os equilíbrios e estudar os autovalores da matriz do sistema (Jacobiano constante).

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
x + y + z = 0, 2x = 0, 3z = 0
Da segunda equação vem x=0 e da terceira vem z=0. Substituindo em x+y+z=0 obtemos y=0. Logo existe um único equilíbrio, (0,0,0).

Passo 3

O Jacobiano do sistema é a própria matriz dos coeficientes, pois o sistema já é linear:
A = 1 & 1 & 1 2 & 0 & 0 0 & 0 & 3

Passo 4

Calculamos os autovalores de . Há um bloco no canto superior esquerdo e um autovalor isolado . Para o bloco
o polinômio característico é
cuja solução é
isto é e . O terceiro autovalor é .

Passo 5

Os autovalores são lambda1=2>0, lambda2=-1<0 e lambda3=3>0. Como há autovalores com parte real positiva, o ponto de equilíbrio (0,0,0) é instável. Além disso, por ter autovalores de sinal trocado, trata-se de um ponto de sela (saddle).

Resposta

O único ponto de equilíbrio é (0,0,0) e ele é instável (ponto de sela) devido à presença de dois autovalores positivos e um negativo.

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