Seja uma matriz com todos autovalores de parte real estritamente menor que um número real negativo. Mostre que existe um tal que para toda solução de temos
para todo .
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear
onde tem todos os autovalores com e . A solução geral é
Queremos mostrar que existe tal que, para toda solução ,
Vamos usar a forma de Jordan de , estimar e explorar que polinômios ficam dominados por exponenciais decrescentes.
Passo 2
Como é real e quadrada, existe invertível e forma de Jordan tais que
logo
Para qualquer norma subordinada escolhemos, vale
Passo 3
Cada bloco de Jordan associado ao autovalor tem a forma com nilpotente. Usando