Exercício 9 (D.L.5.14)

Seja A in Mn(R) uma matriz com todos autovalores de parte real estritamente menor que um número real alpha negativo. Mostre que existe um t0>0 tal que para toda solução x de x^prime=A x temos
|x(t)| <= e^t alpha
para todo t>t0.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear
x'=A,x,
onde Ain Mn(R) tem todos os autovalores lambda com Re(lambda)<alpha e alpha<0. A solução geral é
x(t)=e^tAx(0)
Queremos mostrar que existe t0>0 tal que, para toda solução x,
|x(t)|<= e^alpha t para todo t>t0
Vamos usar a forma de Jordan de A, estimar |e^tA| e explorar que polinômios ficam dominados por exponenciais decrescentes.

Passo 2

Como A é real e quadrada, existe invertível S e forma de Jordan J tais que
A=S,J,S^-1,
logo
e^tA=S,e^tJ,S^-1
Para qualquer norma subordinada escolhemos, vale
|x(t)|<=|e^tA|;|x(0)| <=|S|;|S^-1|;|e^tJ|;|x(0)|

Passo 3

Cada bloco de Jordan Jk associado ao autovalor lambdak tem a forma lambdak I+Nk com Nk nilpotente. Usando
e^tJk =e^lambdak te^tNk =e^lambdak tsumj=0^mk-1t^jj!Nk^j,
segue que existe um polinômio p(t) de grau <= n-1 e beta=maxkRe(lambdak)<alpha tais que
|e^tJ|<= p(t),e^beta t

Passo 4

Como beta<alpha, defina varepsilon=alpha-beta>0. Então
|e^tJ|<= p(t),e^(alpha-varepsilon)t =e^alpha t,l(p(t)e^-varepsilon tr)
Mas p(t)e^-varepsilon tto0 quando ttoinfty, logo existe t1 tal que para todo t>= t1 vale
p(t)e^-varepsilon t<=1 Longrightarrow |e^tJ|<= e^alpha t
Então para t>= t1,
|e^tA|<=|S|;|S^-1|;e^alpha t

Passo 5

Defina C=|S||S^-1| e escolha
t0=t1+ln C-alpha,,
lembrando que alpha<0. Para todo t>= t0 temos
C,e^alpha t ;=; e^ln C,e^alpha t ;=; e^alpha(t-t1),e^alpha t1 <= e^alpha t,
pois alpha(t-t1)<=0 quando t>= t1+ln C-alpha. Assim
|e^tA|<= e^alpha t para todo t>= t0,
e finalmente, para toda solução x(t),
|x(t)|<=|e^tA|;|x(0)|<= e^alpha t|x(0)|

Resposta

Existe
t0=t1+lnl|Sr|l|S^-1r|-alpha>0
tal que, para toda solução x de x'=Ax, vale
|x(t)|<= e^alpha t para todo t>t0

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