Discuta a existência de solução dos seguintes sistemas de equações lineares, em termos dos parâmetros reais alpha e beta :
\left{ cccx+y+z & = & -2 x-y+z & = & 3 x+z & = & 1 / 2 3 x-y+3 z= & alpha\right.

Passo 1

O sistema dado é
x+y+z = -2, x - y + z = 3, x + z = beta, 3x - y + 3z = alpha,
onde alpha,betainR.
O conteúdo é análise de consistência de um sistema sobredeterminado ( 4 equações e 3 incógnitas). Vamos usar combinações lineares para obter condições de compatibilidade em alpha e beta.

Passo 2

Somando a primeira com a segunda equação, eliminamos y:
(x+y+z)+(x-y+z)=(-2)+3 ;Longrightarrow; 2x+2z=1 ;Longrightarrow; x+z=tfrac12
Para que o sistema seja consistente, o valor dado por x+z em relação a alpha,beta deve coincidir com essa expressão.

Passo 3

A terceira equação impõe
x+z=beta
Comparando com o resultado do passo anterior, concluímos
beta = tfrac12
Se betaneqtfrac12, o sistema é incompatível e não tem solução.

Passo 4

Assumindo beta=tfrac12, as três primeiras equações têm solução em família de parâmetros. Por exemplo, seja z=t. Então
x+z=tfrac12;Longrightarrow;x=tfrac12 - t, y=-2 - x - z=-2 -l(tfrac12-tr)-t=-tfrac52
Logo
(x,y,z)=l(tfrac12 - t,,-tfrac52,,tr), tinR

Passo 5

Substituímos essa família na quarta equação
3x - y + 3z ;=;alpha
Temos
3l(tfrac12 - tr)-l(-tfrac52r)+3t = tfrac32 -3t +tfrac52 +3t =4
Portanto, a equação só se satisfaz se
alpha=4
Se alphaneq4, não há solução compatível com as três primeiras.

Resposta

O sistema tem solução se, e só se,
beta=tfrac12 e alpha=4
Nesse caso existem infinitas soluções dadas por
(x,y,z)=l(tfrac12 - t,,-tfrac52,,tr),;tinR
Se betaneqtfrac12 ou alphaneq4, o sistema é incompatível (sem solução).

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