Resolva, pelo método de Gauss, o sistema de equações A u=b, para os seguintes pares (A, b) ( i denota a unidade imaginária raiz-1 ):
A=[ccc1 & 1+i & 2 i & i & i i & 1-i & 2], b=[c1 1+i -(2+i)]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A u=b pelo método de eliminação de Gauss. Aqui vamos usar operações elementares em matrizes com coeficientes complexos para triangularizar a matriz aumentada e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada [Amid b] e usamos o pivô a11=1 para zerar as entradas abaixo na primeira coluna:
[ccc|c 1 & 1+i & 2 & 1 i & i & i & 1+i i & 1-i & 2 & -(2+i) ]
Fazendo
R2 R2 - i,R1, R3 R3 - i,R1,
obtemos
[ccc|c 1 & 1+i & 2 & 1 0 & 1 & -i & 1 0 & 2-2i & 2-2i & -2-2i ]

Passo 3

Agora tomamos o pivô a22=1 e zeramos a entrada abaixo na segunda coluna com
R3 R3 - (2-2i),R2
Como R2=(0,;1,;-imid1), temos (2-2i)R2=(0,;2-2i,;-2-2imid2-2i). Subtraindo, fica
[ccc|c 1 & 1+i & 2 & 1 0 & 1 & -i & 1 0 & 0 & 4 & -4 ]

Passo 4

O sistema triangular é
4,u3 = -4, u2 - i,u3 = 1, u1 + (1+i),u2 + 2,u3 = 1
Da terceira linha vem
u3 = -44 = -1
Da segunda linha
u2 - i(-1) = 1 Longrightarrow u2 + i = 1 Longrightarrow u2 = 1 - i
Da primeira linha
u1 + (1+i)(1 - i) + 2(-1) = 1
Como (1+i)(1-i)=2, segue
u1 + 2 - 2 = 1 Longrightarrow u1 = 1

Resposta

u = 1 1 - i -1

Exercícios relacionados