Discuta a existência de solução dos seguintes sistemas de equações lineares, em termos dos parâmetros reais alpha e beta :
\left{ cccx1+2 x2+3 x3+4 x4 & = & 0 5 x3+6 x4 & = & 0 alpha x3+6 x4 & = & beta x2+7 x3+8 x4 & = & 1\right.

Passo 1

O sistema em
O que vamos fazer é usar eliminação: da segunda equação expressamos , depois substituímos na terceira para achar condições em .

Passo 2

Da equação
5x3+6x4=0
segue
x3=-65,x4

Passo 3

Substituindo em
alpha x3+6x4=beta
vem
alphal(-65x4r)+6x4=beta Longrightarrow 6cdot5-alpha5,x4=beta

Passo 4

Caso alphaneq5, o coeficiente 65-alpha5 é não nulo e
x4 =beta6,55-alpha =5beta6(5-alpha)
é único. Em seguida
x3=-65x4, x2=1-7x3-8x4, x1=-2x2-3x3-4x4,
logo há exatamente uma solução.

Passo 5

Caso alpha=5, a equação do passo 3 vira
0cdot x4=beta,
que só é compatível se beta=0.
  • Se betaneq0, não há solução.
  • Se beta=0, então a terceira equação é redundante com a segunda e sobra um grau de liberdade em x4, dando infinitas soluções (parametrizadas, por exemplo, por x4inR).

Resposta

Para alphaneq5 o sistema tem solução única.
Para alpha=5 e beta=0 o sistema tem infinitas soluções.
Para alpha=5 e betaneq0 o sistema não tem solução.

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