Discuta a existência de solução dos seguintes sistemas de equações lineares, em termos dos parâmetros reais alpha e beta :
\left{ cccx+4 y+3 z & = & 10 2 x+7 y-2 z & = & 10 x+5 y+alpha z= & beta\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x + 4y + 3z = 10, 2x + 7y - 2z = 10, x + 5y + alpha z = beta,
quer saber para quais alpha,betainR ele tem solução. O conteúdo é existência e unicidade de solução de sistemas lineares 3times 3, usando determinante e condição de compatibilidade quando o determinante é zero.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 4 & 3 2 & 7 & -2 1 & 5 & alpha
e calculamos
det(A)=1cdot(7alpha-(-2)cdot5)-4cdot(2alpha-(-2)cdot1)+3cdot(2cdot5-7cdot1)=11-alpha

Passo 3

Se alphaneq11 então det(A)neq0 e o sistema tem exatamente uma solução para todo beta.

Passo 4

Se alpha=11 então det(A)=0. Nesse caso as três equações são linearmente dependentes e só há solução se a terceira for combinação das duas primeiras. Buscamos mu,nu tais que
(1,5,11)=mu,(1,4,3)+nu,(2,7,-2)
Das duas primeiras coordenadas vem mu+2nu=1 e 4mu+7nu=5, cuja solução é mu=3, nu=-1. A terceira coordenada então é 3cdot3-2cdot(-1)=11, compatível. Para os termos independentes exigimos
beta=3cdot10-1cdot10=20
Logo, quando alpha=11 o sistema é compatível somente se beta=20.

Resposta

Para alphaneq11 há solução única (qualquer beta).
Para alpha=11 e beta=20 há infinitas soluções.
Para alpha=11 e betaneq20 não há solução.

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