Discuta em função de k os seguintes sistemas:
l2 x-2 y+k z=2 2 x-y+k z=3 x-k y+z=0

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear dependente de um parâmetro k:
2x - 2y + k,z = 2, 2x - y + k,z = 3, x - k,y + z = 0
O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares segundo o parâmetro: vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando existe solução única, ou quando passa a ter posto menor e pode haver infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
A = 2 & -2 & k 2 & -1 & k 1 & -k & 1
Usando expansão na primeira linha,
det(A) =2det!-1 & k-k & 1 -(-2)det!2 & k1 & 1 + kdet!2 & -11 & -k
Calculando cada menor:
det!-1 & k-k & 1 =-1cdot1 - kcdot(-k)=k^2-1,
det!2 & k1 & 1 =2cdot1 - kcdot1=2-k,
det!2 & -11 & -k =2cdot(-k)-(-1)cdot1=-2k+1
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det(A) =2(k^2-1)+2(2-k)+k(1-2k) =(2k^2-2)+(4-2k)+(k-2k^2) =2 - k

Passo 3

Como [\det(A)=2-k), temos dois casos:
Caso 1: . Então e o sistema tem solução única.
Para encontrar essa solução, subtraímos a primeira equação da segunda:
Substituindo em
e em
Resolvendo o sistema
isola-se (x=k-z] na segunda e substitui na primeira:

Então

Passo 4

Caso 2:
A primeira equação simplifica para . Substituindo em e em vemos que ambas reduzem à mesma relação entre e , sem gerar contradição. Fica
ou seja há infinitas soluções parametrizadas por :

Resposta

Para kneq2: há solução única
(x,y,z)=(k+2,;1,;-2)
Para k=2: o sistema tem posto menor e admite infinitas soluções
(x,y,z)=(2-t,;1,;t), tinR
Não há valores de k que tornem o sistema impossível.

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