e pede para discutir, em função de k, se ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar determinante da matriz de coeficientes e estudar casos singulares (det =0) versus não singulares (detneq0).
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 0 & k 1 & -1 & -2 1 & k & 4
e calculamos o determinante. Por expansão na primeira linha:
det A =1cdotdet-1 & -2[0.3em]k & 4 -0+;kcdotdet1 & -1[0.3em]1 & k =(-1cdot4-(-2),k)+k(1cdot k-(-1)cdot1) =-4+2k+k^2+k =k^2+3k-4 =(k+4)(k-1)
Logo, para kneq1 e kneq-4 temos det Aneq0 e, portanto, solução única. Resta analisar os casos k=1 e k=-4.]
Passo 3
Caso
Da primeira equação é parâmetro livre. A família de soluções é
ou seja, infinitas soluções.
Passo 4
Caso
Da primeira equação e , que são incompatíveis. Logo, não há solução.
Passo 5
Para kneq1 e kneq-4, o sistema tem solução única. Usando x=-2-kz e substituindo, chega-se a
z=-k+3k+4, x=k-2, y=-k+2k+4
Resposta
Para kneq1 e kneq-4 existe solução única
x=k-2, y=-k+2k+4, z=-k+3k+4
Para k=1 o sistema tem infinitas soluções
x=-2-z,;y=-3-3z,;zin R
Para k=-4 o sistema é inconsistente (sem solução).