Discuta em função de k os seguintes sistemas:
lx+k z=-2 x-y-2 z=k x+k y+4 z=-5

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + k,z = -2, x - y - 2z = k, x + k,y + 4z = -5
e pede para discutir, em função de k, se ele tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar determinante da matriz de coeficientes e estudar casos singulares ( det =0) versus não singulares ( detneq0).

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 0 & k 1 & -1 & -2 1 & k & 4
e calculamos o determinante. Por expansão na primeira linha:
det A =1cdotdet-1 & -2[0.3em]k & 4 -0+;kcdotdet1 & -1[0.3em]1 & k =(-1cdot4-(-2),k)+k(1cdot k-(-1)cdot1) =-4+2k+k^2+k =k^2+3k-4 =(k+4)(k-1)
Logo, para kneq1 e kneq-4 temos det Aneq0 e, portanto, solução única. Resta analisar os casos k=1 e k=-4.]

Passo 3

Caso
Da primeira equação é parâmetro livre. A família de soluções é
ou seja, infinitas soluções.

Passo 4

Caso
Da primeira equação e , que são incompatíveis. Logo, não há solução.

Passo 5

Para kneq1 e kneq-4, o sistema tem solução única. Usando x=-2-kz e substituindo, chega-se a
z=-k+3k+4, x=k-2, y=-k+2k+4

Resposta

Para kneq1 e kneq-4 existe solução única
x=k-2, y=-k+2k+4, z=-k+3k+4
Para k=1 o sistema tem infinitas soluções
x=-2-z,;y=-3-3z,;zin R
Para k=-4 o sistema é inconsistente (sem solução).

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