Questão 6. Mostre que o conjunto
é uma base ortonormal. Tal base recebe o nome de base canônica de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado pelos vetores
e
é uma base ortonormal de (isto é, de
com o produto interno usual).
Conteúdo: produto interno canônico, definição de vetores ortogonais, norma de vetor e definição de base (independência linear e geração do espaço).
é uma base ortonormal de
Conteúdo: produto interno canônico, definição de vetores ortogonais, norma de vetor e definição de base (independência linear e geração do espaço).
Passo 2
Checar a ortogonalidade de
e
. No produto interno canônico em
, para
e
vale
Logo
ou seja,
e
são ortogonais.
Passo 3
Calcular as normas de
e
. A norma vem de
Para
:
e para
:
Portanto ambos têm norma unitária.
Passo 4
Concluímos que
e
são ortogonais e
. Logo o conjunto é ortonormal.
Passo 5
Mostrar que
é uma base de
. Primeiro, verifica-se a independência linear: se
,
isto é,
isto é,
então
e
. Logo são linearmente independentes. Como
e temos dois vetores independentes, eles geram todo o espaço. Assim formam base.
Resposta
O conjunto
é ortonormal (vetores ortogonais de norma 1) e é base de
. Trata-se justamente da base canônica de
.