Questão 6. Mostre que o conjunto i=(1,0), j=(0,1) é uma base ortonormal. Tal base recebe o nome de base canônica de V^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto formado pelos vetores
i = (1,0) e j = (0,1)
é uma base ortonormal de V^2 (isto é, de R^2 com o produto interno usual).
Conteúdo: produto interno canônico, definição de vetores ortogonais, norma de vetor e definição de base (independência linear e geração do espaço).

Passo 2

Checar a ortogonalidade de i e j. No produto interno canônico em R^2, para u=(u1,u2) e v=(v1,v2) vale
lang<= u,vrang<= = u1v1 + u2v2
Logo
lang<= i,jrang<= = 1cdot 0 + 0cdot 1 = 0,
ou seja, i e j são ortogonais.

Passo 3

Calcular as normas de i e j. A norma vem de
|u| = raizlang<= u,urang<=
Para i:
|i| = raiz1^2 + 0^2 = 1,
e para j:
|j| = raiz0^2 + 1^2 = 1
Portanto ambos têm norma unitária.

Passo 4

Concluímos que i e j são ortogonais e |i|=|j|=1. Logo o conjunto é ortonormal.

Passo 5

Mostrar que i,j é uma base de R^2. Primeiro, verifica-se a independência linear: se
alphai + betaj = (0,0),
isto é,
(alpha,0) + (0,beta) = (0,0),
então alpha=0 e beta=0. Logo são linearmente independentes. Como dim(R^2)=2 e temos dois vetores independentes, eles geram todo o espaço. Assim formam base.

Resposta

O conjunto i,j é ortonormal (vetores ortogonais de norma 1) e é base de R^2. Trata-se justamente da base canônica de V^2.

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