Discuta em função de k os seguintes sistemas:
lx+y-k z=0 k x+y-z=2

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função do parâmetro k, o sistema linear
x + y - k,z = 0, k,x + y - z = 2
O conteúdo envolve sistemas paramétricos e classificação via posto da matriz de coeficientes e da matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada (Amid b):
A = 1 & 1 & -k k & 1 & -1 , (Amid b) = 1 & 1 & -k & 0 k & 1 & -1 & 2
Para ver quando as duas linhas de A são dependentes, procuramos alpha tal que
(k,1,-1)=alpha,(1,1,-k)
Da primeira componente vem alpha=k. Da segunda vem 1=alpha, logo k=1. Verifica-se também que para k=1 a terceira componente bate: -1=1cdot(-1).

Passo 3

Caso , as duas linhas de são linearmente independentes, logo
Como não há combinação das equações que produza inconsistência, temos . Há 3 incógnitas e posto 2, então o sistema é possível indeterminado com uma liberdade. Para ver a solução geral, tomamos e resolvemos
Subtraindo a primeira da segunda:
Então
Logo a solução geral é

Passo 4

Caso , as linhas de são proporcionais () mas os termos independentes não satisfazem a mesma proporção, pois de
viria proporcional a , o que não ocorre. Assim
logo o sistema é incompatível (não tem solução).

Resposta

Para kneq 1, o sistema é possível indeterminado com infinitas soluções, dadas por
(x,y,z)=l(tfrac2k-1-t,,(k+1),t - tfrac2k-1,,tr),;tinR
Para k=1, o sistema é impossível (sem solução).

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