Discuta em função de m o sistema:
cm x-y+2 z=1 2 x+y+z=2 5 x+2 y+5 z=7

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em três incógnitas dependente do parâmetro :
O conteúdo aqui é compatibilidade de sistemas lineares em função de um parâmetro e cálculo de determinante para classificar número de soluções.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = m & -1 & 2 2 & 1 & 1 5 & 2 & 5 , b = 127
Para estudar existência e unicidade de solução, calculamos det(A).

Passo 3

Expandindo det(A) pela primeira linha:
det(A) = m1 & 12 & 5 -(-1)2 & 15 & 5 +22 & 15 & 2 = m(1cdot5 - 1cdot2) + (2cdot5 - 1cdot5) + 2(2cdot2 - 1cdot5) =3m +5 -2 =3(m+1)
Logo,
det(A)=3(m+1)
Dessa forma distinguimos dois casos: mneq -1 e m=-1.

Passo 4

Caso mneq -1: então det(A)neq0 e o sistema tem solução única. Podemos usar eliminação de Gauss para encontrá-la:
  1. Das equações (2) e (1) obtemos
    (m+2)x +3z =3
  2. Das equações (3) e (2) obtemos
x +3z =3
  1. Substituindo x = 3 - 3z em (m+2)x +3z=3 e lembrando mneq -1, chega-se a
    z=1,
    x=3-3cdot1=0,
    e da equação (2) vem
y = 2 - 2x - z = 2 -0 -1 =1
Portanto, para mneq -1 a solução é
(x,y,z) = (0,,1,,1)

Passo 5

Caso
Isso mostra que não há contradição, mas sobra um grau de liberdade. Definindo parâmetro (t = z], obtemos a família de soluções

Resposta

Para mneq -1, o sistema é determinado e a única solução é
(x,y,z) = (0,,1,,1)
Para m=-1, o sistema é indeterminado e as soluções são
(x,y,z) = (3 - 3t,,-4 + 5t,,t), tinR

Exercícios relacionados