Discuta, em função dos parâmetros reais a e b, o sistema linear \left\{\begin{aligned} x+a y+a z & =6 \\\\ 3 x+3 a y+4 z & =b\end{aligned}\right. nas variáveis x, ye z.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,y,z\) com parâmetros reais \(a\) e \(b\):
\[\begin{cases} x + a y + a z = 6,\\[4pt] 3x + 3a y + 4z = b. \end{cases}
O que se pede é discutir o sistema em função de a\] e \(b: determinar quando é compatível ou incompatível, e quando for compatível descrever a família de soluções (quantas variáveis livres, forma paramétrica, etc.).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes dependem de a (mesmo a no primeiro e na segunda equação) e o segundo membro da segunda equação é o parâmetro b.]
Passo 2
Vou aplicar eliminação elementar (eliminação de Gauss) para simplificar o sistema e identificar dependências entre equações. Escrevo a matriz aumentada e faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & a & a & 6\\[2pt] 3 & 3a & 4 & b \end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & a & a & 6\\[4pt] 0 & 0 & 4-3a & b-18 \end{array}\right].
A operação foi feita termo a termo: 3-3\cdot1=0, 3a-3\cdot a=0, 4-3\cdot a=4-3a, b-3\cdot6=b-18.
Agora explico o critério que vamos usar (de forma didática): depois da eliminação, olhamos a segunda linha. Se a sublinha de coeficientes (0,0,4-3a) for a linha zero ou não determina se as duas equações são linearmente independentes. O posto (rank) da matriz dos coeficientes é o número de linhas não-nulas nessa forma escalonada. Para saber compatibilidade, comparamos o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada: se iguais, o sistema é compatível; se diferentes, é incompatível. O número de variáveis livres é \text{número de incógnitas} - \text{posto}úó. Aqui há 3 incógnitas.]
Passo 3
Caso 4-3a \neq 0 (ou seja, a \neq \tfrac{4}{3}).
Nesse caso a segunda linha após eliminação é não-nula e fornece diretamente uma equação para z:
A matriz de coeficientes tem posto 2 (duas linhas independentes), logo o sistema é compatível para qualquer b (o segundo membro apenas determina o valor de z). Como há 3 incógnitas e posto 2, existe uma variável livre: número de parâmetros na solução é 3-2=1. Conveniente escolher y como parâmetro livre: seja y=t\in\mathbb{R}. Então, substituindo em x + a y + a z = 6,
x = 6 - a y - a z.
Substituo y=t e z=\dfrac{b-18}{4-3a} para escrever a solução paramétrica:
z=\frac{b-18}{4-3a},\qquad y=t,\qquad x=6 - a t - a\cdot\frac{b-18}{4-3a},
com t\in\mathbb{R}. Isso descreve a reta (família unidimensional) de soluções.
Passo 4
Caso 4-3a = 0, isto é a=\dfrac{4}{3}. Então a segunda linha da matriz escalonada é (0,0,0\mid b-18). Existem duas subcasos:
Se b-18 \neq 0 (ou seja, b\neq 18), a segunda linha fica (0,0,0\mid\text{não nulo})ã, que é a equação impossível 0=b-18. Isso significa que o posto da matriz dos coeficientes é 1 (apenas a primeira linha é não-nula) e o posto da matriz aumentada é 2. Como os postos diferem, o sistema é incompatível (sem solução).
Se b-18=0 (ou seja, b=18), a segunda linha vira (0,0,0\mid0) — uma linha nula. Então o posto da matriz dos coeficientes é 1 e o posto da aumentada também é 1: o sistema é compatível. Como há 3 incógnitas e posto 1, o espaço de soluções tem dimensão 3-1=2: duas variáveis livres. É natural tomar y=s e z=t livres, com s,t\in\mathbb{R}. Substituindo a=\tfrac{4}{3} na primeira equação:
x + \frac{4}{3}y + \frac{4}{3}z = 6 \quad\Rightarrow\quad x = 6 - \frac{4}{3}y - \frac{4}{3}z.
Portanto a solução geral (quando a=\tfrac{4}{3} e b=18) é
Resumo e interpretação intuitiva (para memorizar na prova): ao eliminar x das equações aparece a equação residual (4-3a)z=b-18. Se o coeficiente (4-3a) for não nulo, z fica fixo e sobra uma variável livre (infinitas soluções em uma reta). Se (4-3a)=0 então as duas equações ficam proporcionalmente dependentes e ou não há solução (se o lado direito não for compatível, b\neq 18) ou há duas variáveis livres (se b=18).
Resposta
Se a\neq \dfrac{4}{3}: o sistema é compatível e tem infinitas soluções (1 parâmetro). A solução geral é
z=\frac{b-18}{4-3a},\qquad y=t,\qquad x=6 - a t - a\cdot\frac{b-18}{4-3a},\quad t\in\mathbb{R}.
Se a=\dfrac{4}{3} e b\neq 18: o sistema é incompatível (sem solução).
Se a=\dfrac{4}{3} e b=18: o sistema é compatível e tem infinitas soluções (2 parâmetros). A solução geral é