Por terem comprado a mesma marca de café e açúcar no mesmo dia e no mesmo supermercado, João, Carlos e Vera pagaram o mesmo preço por quilograma de café e o mesmo preço por quilograma de açúcar. João gastou R$48,00em 1 kg de café e 2 kg de açúcar; Carlos gastou R$87,00 em 2 kg de café e n \mathrm{~kg} de açúcar, e Vera gastou R$126,00 em 3 kg de café e ( n+1 ) kg de açúcar. Nessas condições, conclui-se que:
a. n=1
b. n=2
c. n=3
d. n=4
e. n=5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
  • João, Carlos e Vera compraram café e açúcar com o mesmo preço por quilograma para todo mundo.
  • João gastou R$ 48,00 em 1 kg de café e 2 kg de açúcar.
  • Carlos gastou R$ 87,00 em 2 kg de café e n kg de açúcar.
  • Vera gastou R$ 126,00 em 3 kg de café e (n+1) kg de açúcar.
    O que o problema pede: determinar o valor de n entre as alternativas dadas:
    a. n=1
    b. n=2
    c. n=3
    d. n=4
    e. n=5

Passo 2

Para organizar: vamos colocar incógnitas claras para os preços por quilograma (isso ajuda a transformar as frases em equações).
  • Seja p_c o preço por kg do café (em reais).
  • Seja p_a o preço por kg do açúcar (em reais).
Agora traduzimos cada gasto em uma equação linear:
  • João: 1 kg de café e 2 kg de açúcar custaram R$ 48,00, então
p_c + 2p_a = 48.
  • Carlos: 2 kg de café e n kg de açúcar custaram R$ 87,00, então
2p_c + n p_a = 87.
  • Vera: 3 kg de café e (n+1) kg de açúcar custaram R$ 126,00, então
3p_c + (n+1)p_a = 126.

Passo 3

Observação estratégica: as duas últimas equações têm a mesma incógnita n na parte do açúcar; subtrair a equação de Carlos da de Vera elimina o termo com n (pois (n+1)-n=1). Isso é o método de eliminação: subtrair equações para eliminar uma incógnita e obter uma relação simples entre as restantes.
Fazendo (\text{Vera}) - (\text{Carlos}):
(3p_c + (n+1)p_a) - (2p_c + n p_a) = 126 - 87.
Simplificando os termos semelhantes:
p_c + p_a = 39.

Passo 4

Agora temos duas equações simples envolvendo apenas p_c\) e \(p_a\): \[\begin{cases} p_c + 2p_a = 48,\\[4pt] p_c + p_a = 39. \end{cases}
Podemos subtrair a segunda da primeira para eliminar p_c\] e achar \(p_a:
(p_c + 2p_a) - (p_c + p_a) = 48 - 39.
Isso dá
p_a = 9.
Explicação curta: subtrai-se termo a termo; p_c cancela e 2p_a - p_a = p_a.]

Passo 5

Com p_a = 9 substituímos em p_c + p_a = 39 para achar p_c:
p_c + 9 = 39 \quad\Rightarrow\quad p_c = 39 - 9 = 30.
Portanto o café custa R$ 30 por kg e o açúcar custa R$ 9 por kg.

Passo 6

Agora voltamos à equação de Carlos para determinar n:
2p_c + n p_a = 87.
Substituindo p_c=30 e p_a=9:
2\cdot 30 + 9n = 87.
Calculando:
60 + 9n = 87 \quad\Rightarrow\quad 9n = 27 \quad\Rightarrow\quad n = 3.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom checar): usar n=3 na equação de Vera:
3p_c + (n+1)p_a = 3\cdot 30 + 4\cdot 9 = 90 + 36 = 126,
que coincide com o gasto declarado de Vera. Tudo consistente.

Resposta

n=3
(c)

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