Quero encontrar todas as matrizes B tais que B^{2}=A.
Dados úteis que extraio já: A é 2\times2. É conveniente calcular o traço e o determinante mais adiante para entender os autovalores; farei isso nos próximos passos.]
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de maneira simples e por que): vou buscar raízes quadradas na forma de um polinômio de primeiro grau em A,
B = xI + yA,
com x,y\in\mathbb{R}. Por que isso funciona e é uma boa ideia? Para matrizes 2\times2, a característica de Cayley–Hamilton diz que A satisfaz seu polinômio característico; portanto potências altas de A podem ser reduzidas a combinações lineares de I e A. Consequentemente, qualquer função polinomial de A pode ser escrita como xI+yA. Como queremos B^2=A, é natural tentar B dessa forma porque a equação B^2=A vai se converter numa equação em I e A que podemos resolver para x,y.
Antes de expandir, calculo o polinômio característico de A (informação que ajuda a substituir A^2):
Traço: \operatorname{tr}(A)=3+3=6.
Determinante: \det(A)=3\cdot3-(-2)(-4)=9-8=1.
Logo o polinômio característico é
\lambda^{2}-6\lambda+1,
e pela identidade de Cayley–Hamilton temos a relação matricial
A^{2}-6A+I=0,
ou seja
A^{2}=6A-I.
Passo 3
Agora supomos B=xI+yA e calculamos B^{2}. Faço a expansão com cuidado e uso A^{2}=6A-I para simplificar:
Isso confirma que B_{3} é realmente raiz quadrada de A. Pelas simetrias, B_{4}=-B_{3} e B_{2}=-B_{1} também são raízes.]
Passo 7
Interpretação final e por que obtivemos exatamente quatro raízes: como observação conceitual — se diagonalizarmos A (autovalores \lambda_{1},\lambda_{2} distintos e positivos), uma raiz quadrada diagonal tem entradas \pm\sqrt{\lambda_{i}} na diagonal, logo há 2^{2}=4 escolhas possíveis. Nosso método por polinômio em A produziu precisamente essas quatro soluções reais. Assim, concluímos que existem quatro raízes quadradas reais da matriz A, listadas abaixo.