Discuta, para a \in \mathbb{R}, o grau do polinômio f(x) :
f(x)=\left(a^{2}-1\right)^{2} x^{3}+\left(a^{2}-3 a+2\right) x+a+3

Passo 1

O enunciado pede o grau do polinômio
f(x)=\bigl(a^{2}-1\bigr)^{2}x^{3}+\bigl(a^{2}-3a+2\bigr)x+a+3,
variando a\in\mathbb{R}. Lembrando que o grau de um polinômio em x é o maior expoente cuja coeficiente seja não nulo.

Passo 2

Começamos examinando o coeficiente de x^{3}, que é
(a^{2}-1)^{2}.
Para que o termo cúbico desapareça, precisamos de
(a^{2}-1)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\pm1.

Passo 3

Nesses casos a=\pm1, passamos a olhar o coeficiente de x, que é
a^{2}-3a+2=(a-1)(a-2).
  • Se a=1, então (a-1)(a-2)=0 e sobra só o termo constante a+3=4. Portanto f(x)=4 é de grau 0.
  • Se a=-1, então (a-1)(a-2)=(-2)(-3)=6\neq0. O polinômio fica linear em x, logo de grau 1.

Passo 4

Se a\neq\pm1, o coeficiente de x^{3} é (a^{2}-1)^{2}\neq0, então o grau de f é 3.

Resposta

Para a=1, \deg f=0.
Para a=-1, \deg f=1.
Para qualquer outro a\in\mathbb{R}, \deg f=3.

Exercícios relacionados