Discuta, para a \in \mathbb{R}, o grau do polinômio f(x) :
f(x)=\left(a^{3}-a\right) x^{3}+a(a-1) x^{2}+a^{3}-1

Passo 1

O enunciado pede para, dado a\in\mathbb{R}, determinar o grau do polinômio
f(x) = \bigl(a^{3}-a\bigr)x^{3} + a(a-1)x^{2} + \bigl(a^{3}-1\bigr).
O conteúdo é “grau de um polinômio” e precisamos verificar quando o coeficiente líder se anula, reduzindo o grau.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de x^{3}, que é
a^{3}-a \;=\; a\,(a^{2}-1)\;=\;a\,(a-1)\,(a+1).
Para valores de a tais que a^{3}-a\neq 0, o termo de maior grau permanece e \deg f=3. Caso contrário, devemos examinar a\in\{-1,0,1\}.

Passo 3

Se a\notin\{-1,0,1\}, então a^{3}-a\neq 0 e o polinômio tem realmente termo cúbico não nulo. Logo
\deg f = 3 \quad\text{para }a\notin\{-1,0,1\}.

Passo 4

Agora analisamos caso a caso em \{-1,0,1\}:
  1. Para a=0 temos
f(x) = (0-0)x^{3} + 0\cdot(-1)x^{2} + (0-1) = -1,
que é constante não nulo. Assim \deg f = 0.
  1. Para a=1 temos
f(x) = (1-1)x^{3} + 1\cdot0\,x^{2} + (1-1) = 0,
ou seja, f é o polinômio zero. Neste caso não atribuímos grau finito (às vezes diz-se \deg f=-\infty ou “indefinido”).
  1. Para a=-1 temos
f(x) = \bigl((-1)^{3}-(-1)\bigr)x^{3} + (-1)(-2)x^{2} + \bigl((-1)^{3}-1\bigr) = 0\cdot x^{3} + 2x^{2} + (-2) = 2x^{2}-2,
que é quadrático. Logo \deg f=2.

Resposta

Para a\notin\{-1,0,1\}: \deg f=3.
Para a=-1: \deg f=2.
Para a=0: \deg f=0.
Para a=1: f é o polinômio zero (grau indefinido).

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