Discuta o movimento de um fluido tendo potencial complexo
(a) \Omega(z)=i k \ln z, onde k>0.
(b) Mostre que a circulação em torno do ponto de redemoinho e dada por \gamma=2 \pi k \mathrm{e} reescreva o potencial complexo em termos da circulação.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial complexo
\Omega(z)=i\,k\ln z,
com k>0. Esse potencial descreve um escoamento bidimensional, incompressível e irrotacional em todo lugar exceto na origem, atuando como um redemoinho (vórtice) no ponto z=0. Precisamos extrair o potencial de velocidade \varphi, a função corrente \psi, as componentes de velocidade, as linhas de corrente e de potencial, calcular a circulação \gamma em torno da origem e, por fim, reescrever \Omega em função de \gamma.

Passo 2

Decompondo \Omega em parte real \varphi e imaginária \psi, utilizamos a forma polar z=r e^{i\theta}, onde \ln z=\ln r + i\theta. Assim,
\Omega = i\,k(\ln r + i\theta) = i\,k\ln r - k\,\theta = \underbrace{-\,k\,\theta}_{\varphi(r,\theta)} \;+\; i\;\underbrace{k\,\ln r}_{\psi(r,\theta)}.
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\varphi(r,\theta)=-\,k\,\theta, \qquad \psi(r,\theta)=k\ln r.

Passo 3

A velocidade complexa é
w(z)=\frac{d\Omega}{dz} =\frac{i\,k}{z}.
Em coordenadas polares isso dá componente radial nula e componente tangencial
v_r=0, \qquad v_\theta=\frac{k}{r}.
Portanto o escoamento é puramente giratório em torno da origem, com velocidade que decresce como 1/r.

Passo 4

As linhas de corrente são dadas por \psi= constante, ou seja
k\ln r=\text{constante} \;\Longrightarrow\; r=\text{constante},
ou seja círculos concêntricos ao redor de z=0.
As linhas equipotenciais são \varphi= constante, ou seja
-\,k\,\theta=\text{constante} \;\Longrightarrow\; \theta=\text{constante},
ou seja semirretas que saem da origem.

Passo 5

A circulação em torno de uma curva fechada \Gamma que envolve a origem (por exemplo o círculo r=R) é
\gamma=\oint_{\Gamma}\mathbf v\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{2\pi}v_\theta\,R\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{k}{R}R\,d\theta =2\pi\,k.

Passo 6

Isolando k em termos de \gamma, temos k=\gamma/(2\pi). Substituindo em \Omega,
\Omega(z) = i\,k\ln z = i\,\frac{\gamma}{2\pi}\,\ln z.

Resposta

A circulação do escoamento em torno de z=0 é
\gamma=2\pi\,k,
e o potencial complexo expresso em função de \gamma fica
\boxed{\Omega(z) = i\,\frac{\gamma}{2\pi}\,\ln z.}

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