Discuta o movimento de um fluido tendo potencial complexo
(a) \Omega(z)=i k \ln z, onde k>0.
(b) Mostre que a circulação em torno do ponto de redemoinho e dada por \gamma=2 \pi k \mathrm{e} reescreva o potencial complexo em termos da circulação.
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial complexo
\Omega(z)=i\,k\ln z,
com k>0. Esse potencial descreve um escoamento bidimensional, incompressível e irrotacional em todo lugar exceto na origem, atuando como um redemoinho (vórtice) no ponto z=0. Precisamos extrair o potencial de velocidade \varphi, a função corrente \psi, as componentes de velocidade, as linhas de corrente e de potencial, calcular a circulação \gamma em torno da origem e, por fim, reescrever \Omega em função de \gamma.
Passo 2
Decompondo \Omega em parte real \varphi e imaginária \psi, utilizamos a forma polar z=r e^{i\theta}, onde \ln z=\ln r + i\theta. Assim,
\Omega = i\,k(\ln r + i\theta) = i\,k\ln r - k\,\theta = \underbrace{-\,k\,\theta}_{\varphi(r,\theta)} \;+\; i\;\underbrace{k\,\ln r}_{\psi(r,\theta)}.
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\varphi(r,\theta)=-\,k\,\theta, \qquad \psi(r,\theta)=k\ln r.
Passo 3
A velocidade complexa é
w(z)=\frac{d\Omega}{dz} =\frac{i\,k}{z}.
Em coordenadas polares isso dá componente radial nula e componente tangencial
v_r=0, \qquad v_\theta=\frac{k}{r}.
Portanto o escoamento é puramente giratório em torno da origem, com velocidade que decresce como 1/r.
Passo 4
As linhas de corrente são dadas por \psi= constante, ou seja