Discuta o movimento de uma partícula descrita pela
no evento em que
(isto é, a resistência a amortecimento é negativa).
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação do movimento de uma partícula dada por:
Aqui,
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento, e
é a frequência natural do sistema. O exercício quer que a gente discuta o que acontece quando
, ou seja, quando a resistência ou amortecimento é negativo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como o sinal do coeficiente de amortecimento influencia o comportamento do movimento.
Passo 2
Vamos começar analisando o tipo de solução da equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação no formato padrão:
Podemos chamar
e reescrever a equação como:
O termo
representa o amortecimento do sistema. Agora, a solução da equação depende do discriminante do polinômio característico:
Passo 3
Vamos calcular as raízes dessa equação quadrática:
Isso nos mostra que a natureza das soluções depende do valor de
em relação a
.
Passo 4
Agora, considerando que
, isso implica que
. Ou seja,
é negativo. Vamos analisar o que isso significa para as raízes.
Substituindo
na expressão das raízes:
Como
, temos duas situações:
- Se
, as raízes são reais e distintas. - Se
, as raízes são complexas conjugadas.
Mas como
, vamos entender o comportamento do sistema.
Passo 5
Se
, o termo
é positivo. Isso significa que, independentemente de
ser maior ou menor que
, a solução geral terá termos que crescem exponencialmente com o tempo.
Por exemplo, se as raízes são complexas, a solução pode ser escrita como:
Mas como
é negativo,
se torna uma função exponencial crescente, indicando que a amplitude das oscilações aumenta com o tempo.
Resposta
Quando
, ou seja, com amortecimento negativo, a partícula não sofre dissipação, mas sim um ganho de energia. Isso faz com que as oscilações da partícula cresçam exponencialmente ao longo do tempo, levando a um comportamento instável.