Discuta o movimento de uma partícula descrita pela m ddotx+b dotx+omega0^2 x=0 no evento em que b<0 (isto é, a resistência a amortecimento é negativa).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação do movimento de uma partícula dada por:
m ddotx + b dotx + omega0^2 x = 0
Aqui, m é a massa, b é o coeficiente de amortecimento, e omega0 é a frequência natural do sistema. O exercício quer que a gente discuta o que acontece quando b < 0, ou seja, quando a resistência ou amortecimento é negativo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem e como o sinal do coeficiente de amortecimento influencia o comportamento do movimento.

Passo 2

Vamos começar analisando o tipo de solução da equação diferencial. Primeiro, reescrevemos a equação no formato padrão:
ddotx + bm dotx + omega0^2m x = 0
Podemos chamar gamma = b2m e reescrever a equação como:
ddotx + 2gamma dotx + omega0^2 x = 0
O termo 2gamma representa o amortecimento do sistema. Agora, a solução da equação depende do discriminante do polinômio característico:
lambda^2 + 2gamma lambda + omega0^2 = 0

Passo 3

Vamos calcular as raízes dessa equação quadrática:
lambda = -2gamma pm raiz(2gamma)^2 - 4 omega0^22 = -gamma pm raizgamma^2 - omega0^2
Isso nos mostra que a natureza das soluções depende do valor de gamma em relação a omega0.

Passo 4

Agora, considerando que b < 0, isso implica que gamma = b2m < 0. Ou seja, gamma é negativo. Vamos analisar o que isso significa para as raízes.
Substituindo gamma < 0 na expressão das raízes:
lambda = -gamma pm raizgamma^2 - omega0^2
Como gamma^2 > 0, temos duas situações:
  1. Se gamma^2 > omega0^2, as raízes são reais e distintas.
  2. Se gamma^2 < omega0^2, as raízes são complexas conjugadas.
Mas como gamma < 0, vamos entender o comportamento do sistema.

Passo 5

Se gamma < 0, o termo -gamma é positivo. Isso significa que, independentemente de gamma^2 ser maior ou menor que omega0^2, a solução geral terá termos que crescem exponencialmente com o tempo.
Por exemplo, se as raízes são complexas, a solução pode ser escrita como:
x(t) = e^-gamma t ( A cos(omega t) + B sin(omega t) )
Mas como gamma é negativo, e^-gamma t se torna uma função exponencial crescente, indicando que a amplitude das oscilações aumenta com o tempo.

Resposta

Quando b < 0, ou seja, com amortecimento negativo, a partícula não sofre dissipação, mas sim um ganho de energia. Isso faz com que as oscilações da partícula cresçam exponencialmente ao longo do tempo, levando a um comportamento instável.

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