Discuta e resolva os seguintes sistemas lineares (em função de a):
x+y-a z & =0 a x+y-z & =2-a x+a y-z & =-a

Passo 1

O enunciado pede para discutir em função de
O método será calcular o determinante da matriz dos coeficientes, verificar para quais (a] ele se anula e depois resolver nos casos de determinante não nulo e de determinante nulo.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
M = 1 & 1 & -a a & 1 & -1 1 & a & -1
e seu determinante é
det M = -l(a^3 -3a +2r) = -(a-1)^2(a+2)
Logo det M=0 exatamente para a=1 ou a=-2, e det Mneq0 para os demais valores de a.

Passo 3

Se aneq1 e aneq-2, o sistema tem solução única dada por eliminação. Eliminando x e y obtemos
z = -2a+2, y = -a^2+2(a-1)(a+2), x = -a^2+2a+2(a-1)(a+2)

Passo 4

Se a=1, substituindo no sistema temos das duas primeiras linhas
x+y-z=0, x+y-z=1,
o que dá 0=1. Portanto não há solução para a=1.

Passo 5

Se a=-2, substituindo no sistema obtemos
x+y+2z=0, -2x+y-z=4, x-2y-z=2,
que levam a duas equações contraditórias em y+z. Logo também não há solução para a=-2.

Resposta

Para aneq1,-2 existe solução única
x = -a^2+2a+2(a-1)(a+2), y = -a^2+2(a-1)(a+2), z = -2a+2
Para a=1 ou a=-2 o sistema é inconsistente (sem solução).

Exercícios relacionados