(2,0) 1^a Questão: Considere o paralelepípedo definido pelas arestas AB, AC, AD, com vértice comum em A=(0,0,0). Os pontos B, C e D são tais que:
A B=(2,1,0), A C=(1,-1,2), A D=(x, 2,1)
Sabendo que o volume do paralelepípedo é V=12 unidades de volume, determine o valor coordenada x.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3 com ponto comum em A,
AB=(2,1,0), AC=(1,-1,2) e AD=(x,2,1),
e pede o valor de x para que o volume do paralelepípedo seja 12.
Usaremos o produto misto (determinante) para calcular esse volume.

Passo 2

O volume V do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
V = l|ABcdot(ACtimes AD)r| = |det 2 & 1 & 0 1 & -1 & 2 x & 2 & 1 |

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det = 2det!-1 & 2 2 & 1 -1det!1 & 2 x & 1 +0cdot(dots)
=2l(-1cdot1 - 2cdot2r) - (1cdot1 - 2x) =2(-1-4) - (1-2x) = -10 -1 +2x =2x - 11

Passo 4

Impondo l|2x - 11r| = 12, pois V=12.

Passo 5

Resolvendo lvert2x -11rvert=12 obtemos
2x - 11 = 12 Rightarrow x = tfrac232,
2x - 11 = -12 Rightarrow x = -tfrac12

Resposta

x = tfrac232 ou x = -tfrac12

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