Resolva os sistemas lineares homogêneos.
\left\{\begin{aligned} x+y & =0 \\\\ 2 x+2 y & =0 \\\\ 3 x+3 y & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] 2x+2y=0,\\[4pt] 3x+3y=0, \end{cases}
ou seja, três equações envolvendo as variáveis x e y e todos os termos independentes são zero (por isso é homogêneo).
  • O que é pedido: encontrar todas as soluções (x,y) que satisfazem simultaneamente as três equações — isto é, descrever o conjunto solução do sistema.]

Passo 2

Escolha do método (rápida justificativa) e ideia geral.
  • Não há método exigido no enunciado. Para sistemas lineares homogêneos simples como este, o método mais direto e elementar é eliminação de Gauss (reduzir por operações entre linhas) ou observar relações de dependência entre as equações. Vou usar eliminação de Gauss porque é sistemático e fácil de aplicar à mão em prova.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada e começar a eliminar.
  • A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 0\\[4pt] 3 & 3 & 0 \end{array}\right].
  • Agora aplicar operações elementares para triangularizar (eliminação de Gauss). Subtrai-se 2 vezes a primeira linha da segunda e 3 vezes a primeira da terceira:
R_2 \leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3-3R_1.
  • Fazendo isso obtemos
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretar a forma escalonada: equações independentes e variáveis livres.
  • A forma escalonada mostra que só resta uma equação não-trivial:
x+y=0.
  • As outras duas linhas viraram 0=0, ou seja, são redundantes (as equações originais são múltiplos umas das outras).
  • Temos duas incógnitas x e y e apenas uma equação independente, portanto há uma variável livre. Vamos escolher um parâmetro para representar a família de soluções.

Passo 5

Escolher parâmetro e escrever a solução geral.
  • Seja t um parâmetro real que representa a variável livre. Podemos escolher, por exemplo, t=y. Então da equação x+y=0 segue
x = -y = -t.
  • Assim a solução geral fica
(x,y)=(-t,\;t)=t(-1,1).
É comum também escrever multiplicando por -1:
(x,y)=t(1,-1),\qquad t\in\mathbb{R},
que é equivalente (troca de parâmetro por t\mapsto -t).

Passo 6

Interpretação linear e verificação rápida.
  • Em linguagem de espaços vetoriais: o conjunto de soluções é o núcleo (nullspace) da matriz dos coeficientes. O posto (rank) da matriz é 1 (há uma linha não-nula), então a dimensão do núcleo é 2-1=1: uma reta passando pela origem no plano (x,y). Uma base dessa reta é o vetor (1,-1).
  • Verificação: escolha t=1 (1,-1). Substituindo na primeira equação x+y=1+(-1)=0, e nas outras também 2\cdot1+2\cdot(-1)=0, etc. Funcionou. O caso t=0 dá a solução trivial (0,0), que sempre satisfaz sistemas homogêneos.

Passo 7

Exemplos numéricos e incentivo rápido.
  • Exemplos de soluções: t=2\Rightarrow(x,y)=(2,-2); t=-3\Rightarrow(x,y)=(-3,3).
  • Está tudo certo: infinito de soluções ao longo da reta gerada por (1,-1). Vai dar certo na prova — lembre que sempre que as linhas são múltiplos umas das outras surge esse tipo de degenerescência e uma variável livre aparece. Força aí!

Resposta

(x,y)=t(1,-1),\\ t\in\mathbb{R}

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