Discuta o sistema linear a seguir em função do parâmetro k, classificando-o como SPD, SPI ou SI para os diferentes valores de k.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=1 \\ 3 x+k y=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com duas equações e duas incógnitas x e y, dependendo do parâmetro k:
\begin{cases} x + 2y = 1,\\\\ 3x + k y = 0.
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares (SPD: possível e determinado; SPI: possível e indeterminado; SI: impossível) usando o determinante da matriz dos coeficientes e, no caso degenerado, verificando a compatibilidade.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] 3 & k\end{pmatrix},
que é
\Delta = \det(A) = 1\cdot k - 2\cdot 3 = k - 6.]

Passo 3

Se \Delta \neq 0, ou seja, k \neq 6, o sistema tem uma única solução (SPD) pelo método de Cramer.
Se \Delta = 0, ou seja, k = 6, as duas equações tornam-se
x + 2y = 1 \quad\text{e}\quad 3x + 6y = 0 \;\Longrightarrow\; x + 2y = 0,
que são contraditórias 1 \neq 0, logo o sistema não tem solução (SI). Não há caso de SPI.

Resposta

Para k \neq 6: SPD.
Para k = 6: SI.

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