Determine o valor de m para que o sistema a seguir seja possível e determinado (SPD).
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=2 \\ 2 x-y+z=5 \\ x+2 y-m z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas em função do parâmetro m\): \[\begin{cases} x+y+z=2,\\\\ 2x-y+z=5,\\\ x+2y-mz=0.
O objetivo é determinar para quais valores de (m] o sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, tem solução única. Em álgebra linear, isso ocorre se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\[6pt] 2 & -1 & 1 \\[6pt] 1 & 2 & -m \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha. Temos
\det(A) =1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 2 & -m\end{pmatrix} -1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 1 & -m\end{pmatrix} +1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt] 1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculando os menores:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 2 & -m\end{pmatrix} =(-1)(-m)-1\cdot2=m-2,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\[3pt] 1 & -m\end{pmatrix} =2(-m)-1\cdot1=-2m-1,
\det\!\begin{pmatrix}2 & -1 \\[3pt] 1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2-(-1)\cdot1=5.
Substituindo em \det(A), obtemos
\det(A)=(m-2)-(-2m-1)+5 = m-2+2m+1+5 =3m+4.]

Passo 4

Para que o sistema seja possível e determinado, precisamos de
\det(A)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad 3m+4\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad m\neq -\tfrac{4}{3}.

Resposta

O sistema é possível e determinado para
m \neq -\frac{4}{3}.

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