Discuta sobre ressonância em um sistema de oscilador harmônico forçado amortecido e analise o comportamento da amplitude da oscilação e da defasagem para o caso de amortecimento fraco para frequências
no intervado
, onde
é a semilargura do pico de ressonância. O que aconteceria com a amplitude e a defasagem no caso do oscilador harmônico forçado sem amortecimento?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que discutir a ressonância em um sistema de oscilador harmônico forçado amortecido. Isso significa que estamos lidando com um sistema que oscila quando forçado por uma força externa e que também perde energia devido ao amortecimento (como atrito ou resistência). Precisamos analisar como a amplitude das oscilações e a defasagem (ou seja, o atraso entre a força aplicada e a resposta do sistema) se comportam quando o amortecimento é fraco e as frequências estão no intervalo
. Aqui,
é a frequência natural do sistema sem amortecimento, e
é a semilargura do pico de ressonância. Também vamos ver o que acontece quando não há amortecimento.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos sobre oscilações forçadas, amortecimento, ressonância, amplitude e defasagem. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico forçado. Imagine uma mola com um peso nela, balançando de um lado para o outro. Se você empurrar essa mola com uma certa frequência, ela começa a oscilar. Essa é a oscilação forçada, onde uma força externa está fazendo o sistema oscilar.
A frequência natural
é a frequência com a qual o sistema oscila quando não há força externa nem amortecimento. É determinada pelas propriedades do sistema, como a massa e a rigidez da mola.
Quando adicionamos amortecimento, como o atrito do ar ou resistência do meio, o sistema perde energia a cada ciclo, o que afeta a amplitude das oscilações.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ressonância. A ressonância ocorre quando a frequência da força externa
está próxima da frequência natural
do sistema. Nesse ponto, o sistema responde com a maior amplitude possível, porque a energia fornecida pela força externa está sendo transferida de forma mais eficiente.
Matematicamente, a amplitude
de um oscilador harmônico forçado amortecido é dada por:
Onde:
-
é a amplitude da força externa, -
é a massa do sistema, -
é a frequência da força externa, -
é o coeficiente de amortecimento.
Passo 4
Vamos considerar amortecimento fraco, ou seja,
pequeno em comparação com
. Nesse caso, o pico de ressonância é agudo e bem definido ao redor de
. A semilargura
é a largura do pico onde a amplitude cai para $ F_0/(m \omega_{0}) $ quando a frequência
se afasta de
.
No intervalo de frequências
, estamos olhando para as frequências próximas à frequência natural, onde a amplitude é máxima e a resposta do sistema é mais forte.
Passo 5
A defasagem (
) é o ângulo pelo qual a força externa está fora de fase com a resposta do sistema. Ela também depende da frequência
e do amortecimento
. A defasagem é dada por:
Quando
está abaixo de
, a defasagem é negativa (a resposta está atrás da força), e quando
está acima, a defasagem é positiva.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento da amplitude e da defasagem quando
está no intervalo
com amortecimento fraco.
-
Amplitude: Dentro desse intervalo, a amplitude é alta devido à ressonância. Como o amortecimento é fraco, o pico de amplitude é estreito e alcança seu valor máximo próximo a
. -
Defasagem: Dentro desse intervalo, a defasagem muda rapidamente de negativa para positiva ao passar por
. Isso significa que a resposta do sistema passa de estar atrás da força para estar à frente dela, refletindo a transição através do ponto de ressonância.
Passo 7
Por fim, vamos considerar o caso sem amortecimento (
). Nesse cenário:
- Amplitude: A fórmula da amplitude simplifica para:
Isso mostra que, sem amortecimento, a amplitude tende ao infinito quando
se aproxima de
, ou seja, ocorre ressonância perfeita. Na prática, isso significa que pequenas forças podem causar grandes oscilações.
- Defasagem: Com
, a defasagem se torna:
Portanto,
, indicando que não há defasagem; a força e a resposta estão em fase.
Resposta
Em um sistema de oscilador harmônico forçado amortecido com amortecimento fraco, quando a frequência
está no intervalo
, a amplitude das oscilações é alta devido à ressonância e a defasagem muda rapidamente de negativa para positiva ao passar por
. No caso do oscilador harmônico forçado sem amortecimento, a amplitude tende ao infinito na frequência natural
e não há defasagem entre a força aplicada e a resposta do sistema.