Qual a relação entre a amplitude de um oscilador harmônico forçado amortecido próximo ao regime de ressonância e o fator
associado a uma oscilação amortecida? Justifique matematicamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre a relação entre a amplitude de um oscilador harmônico forçado amortecido perto do regime de ressonância e o fator $ Q $ associado a uma oscilação amortecida. Basicamente, estamos falando de como a amplitude da oscilação se comporta quando o sistema está quase na frequência de ressonância e como isso está ligado ao fator $ Q $, que mede a “qualidade” ou a eficiência da oscilação. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de osciladores forçados, amortecimento, ressonância e o fator $ Q $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico forçado amortecido. Imagine um sistema como uma mola com um peso: ele oscila quando é puxado e solto. Se adicionarmos uma força externa que varia com o tempo (a força forçada) e considerarmos que há resistência ao movimento (o amortecimento), temos um oscilador harmônico forçado amortecido.
A equação que descreve esse sistema é:
Onde:
- $ m $ é a massa,
- $ c $ é o coeficiente de amortecimento,
- $ k $ é a constante da mola,
- $ F_0 $ é a amplitude da força externa,
- $ \omega $ é a frequência da força externa,
- $ x $ é o deslocamento.
Passo 3
Agora, a ressonância acontece quando a frequência da força externa ($ \omega
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $), ou seja, o sistema é forçado a oscilar na sua frequência natural, resultando em uma grande amplitude.
Porém, devido ao amortecimento, a amplitude máxima não é infinita, mas depende de quanto o sistema é amortecido. É aí que entra o fator $ Q $, que é uma medida de quanta energia é armazenada versus dissipada por ciclo.
Passo 4
O fator $ Q $ é definido por:
Onde $ \beta = \frac{c}{2m} $ é o coeficiente de amortecimento. Um $ Q $ alto significa pouco amortecimento e, portanto, uma amplitude maior na ressonância.
Passo 5
Para encontrar a relação entre a amplitude na ressonância e o fator $ Q $, resolvemos a equação do oscilador para amplitude $ A $:
Na ressonância, $ \omega = \omega_0 $, então a equação simplifica para:
Substituindo $ \beta = \frac{\omega_0}{2Q} $:
Resposta
Então, a amplitude máxima $ A_{max} $ próxima da ressonância é diretamente proporcional ao fator $ Q $. Matematicamente, temos:
Isso significa que quanto maior o fator $ Q $, maior será a amplitude do oscilador harmônico forçado amortecido no regime de ressonância.