Qual a relação entre a amplitude de um oscilador harmônico forçado amortecido próximo ao regime de ressonância e o fator Q associado a uma oscilação amortecida? Justifique matematicamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre a relação entre a amplitude de um oscilador harmônico forçado amortecido perto do regime de ressonância e o fator $ Q $ associado a uma oscilação amortecida. Basicamente, estamos falando de como a amplitude da oscilação se comporta quando o sistema está quase na frequência de ressonância e como isso está ligado ao fator $ Q $, que mede a “qualidade” ou a eficiência da oscilação. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de osciladores forçados, amortecimento, ressonância e o fator $ Q $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um oscilador harmônico forçado amortecido. Imagine um sistema como uma mola com um peso: ele oscila quando é puxado e solto. Se adicionarmos uma força externa que varia com o tempo (a força forçada) e considerarmos que há resistência ao movimento (o amortecimento), temos um oscilador harmônico forçado amortecido.
A equação que descreve esse sistema é:
md^2xdt^2 + cdxdt + kx = F0 cos(omega t)
Onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ c $ é o coeficiente de amortecimento,
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ F_0 $ é a amplitude da força externa,
  • $ \omega $ é a frequência da força externa,
  • $ x $ é o deslocamento.

Passo 3

Agora, a ressonância acontece quando a frequência da força externa ($ \omega omega ê \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} $), ou seja, o sistema é forçado a oscilar na sua frequência natural, resultando em uma grande amplitude.
Porém, devido ao amortecimento, a amplitude máxima não é infinita, mas depende de quanto o sistema é amortecido. É aí que entra o fator $ Q $, que é uma medida de quanta energia é armazenada versus dissipada por ciclo.

Passo 4

O fator $ Q $ é definido por:
Q
Onde $ \beta = \frac{c}{2m} $ é o coeficiente de amortecimento. Um $ Q $ alto significa pouco amortecimento e, portanto, uma amplitude maior na ressonância.

Passo 5

Para encontrar a relação entre a amplitude na ressonância e o fator $ Q $, resolvemos a equação do oscilador para amplitude $ A $:
Q
Na ressonância, $ \omega = \omega_0 $, então a equação simplifica para:
A
Substituindo $ \beta = \frac{\omega_0}{2Q} $:
A = F0m cdot 1raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2betaomega)^2

Resposta

Então, a amplitude máxima $ A_{max} $ próxima da ressonância é diretamente proporcional ao fator $ Q $. Matematicamente, temos:
Amax
Isso significa que quanto maior o fator $ Q $, maior será a amplitude do oscilador harmônico forçado amortecido no regime de ressonância.

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