Vento adiabático. Normalmente, o vento nas Montanhas Rochosas é de oeste para leste. Ao subir a encosta ocidental das montanhas, o ar esfria e perde boa parte da umidade. Ao descer a encosta oriental, o aumento da pressão com a diminuição da altitude faz a temperatura do ar aumentar. Esse fenômeno, conhecido como vento chinook, pode aumentar rapidamente a temperatura do ar na base das montanhas. Suponha que a pressão p do ar varia com a altitude y de acordo com a equação p=p0 e^2 a y, em que p0=1,00 atm e a=1,16 times 10^24 m^-1. Suponha também que a razão entre os calores específicos molares é gamma=4 / 3. Certa massa de ar, a uma temperatura inicial de 25,00^circ C, desce adiabaticamente de y1=4267 m para y=1567 m. Qual é a temperatura do ar após a descida?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vento adiabático nas Montanhas Rochosas. A questão fala sobre como o ar se comporta ao subir e descer montanhas, especialmente o fenômeno chamado vento chinook, que aquece o ar quando ele desce. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e aplicar a relação entre pressão, temperatura e altitude fornecida pela equação $ p = p_{0} e^{2 a y} $. Também vamos utilizar a razão dos calores específicos molares $ \gamma = \frac{4}{3} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Para um gás ideal, a relação entre pressão e temperatura em um processo adiabático é dada por:
T2 = T1 ( P2P1 )^gamma - 1gamma
Onde:
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final,
  • $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões inicial e final,
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos molares.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as pressões $ P_1 $ e $ P_2 $ nas altitudes $ y_1 = 4267 , m $ e $ y_2 = 1567 , m $, respectivamente, usando a equação fornecida:
P1
Substituindo os valores:
P2
y1 = 4267 , m

Passo 4

Perceba que o expoente na equação de pressão está muito grande devido ao valor de $ a $. Isso indica que a pressão varia exponencialmente com a altitude. Porém, na prática, valores tão altos de $ a $ não são realistas, então vamos assumir que houve um erro de digitação e que $ a = 1,16 \times 10^{-4} , m^{-1} $.
Então, recalculando as pressões:
a
a

Passo 5

Agora que temos $ P_1 $ e $ P_2 $, podemos usar a relação adiabática para encontrar a temperatura final $ T_2 $. A temperatura inicial $ T_1 $ é de $ 25,00^{\circ} C $, que em Kelvin é:
P1
Aplicando a fórmula:
P2
Simplificando o expoente:
T2
Então:
T1
Calculando a razão:
25,00^circ C
Então:
T1 = 25 + 273,15 = 298,15 , K
Calculando $ (0,534)^{0,25} $:
T2 = T1 ( P2P1 )^gamma - 1gamma = 298,15 , K times ( 1,4392,695 )^43 - 143
Portanto:
gamma - 1gamma = 43 - 143 = 1343 = 14
Convertendo para Celsius:
T2 = 298,15 , K times ( 1,4392,695 )^14

Resposta

A temperatura do ar após a descida é aproximadamente -30,65^circ C.

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