Vento adiabático. Normalmente, o vento nas Montanhas Rochosas é de oeste para leste. Ao subir a encosta ocidental das montanhas, o ar esfria e perde boa parte da umidade. Ao descer a encosta oriental, o aumento da pressão com a diminuição da altitude faz a temperatura do ar aumentar. Esse fenômeno, conhecido como vento chinook, pode aumentar rapidamente a temperatura do ar na base das montanhas. Suponha que a pressão
do ar varia com a altitude
de acordo com a equação
, em que
e
. Suponha também que a razão entre os calores específicos molares é
. Certa massa de ar, a uma temperatura inicial de
, desce adiabaticamente de
para
. Qual é a temperatura do ar após a descida?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vento adiabático nas Montanhas Rochosas. A questão fala sobre como o ar se comporta ao subir e descer montanhas, especialmente o fenômeno chamado vento chinook, que aquece o ar quando ele desce. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos, e aplicar a relação entre pressão, temperatura e altitude fornecida pela equação $ p = p_{0} e^{2 a y} $. Também vamos utilizar a razão dos calores específicos molares $ \gamma = \frac{4}{3} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Para um gás ideal, a relação entre pressão e temperatura em um processo adiabático é dada por:
Onde:
- $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final,
- $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões inicial e final,
- $ \gamma $ é a razão dos calores específicos molares.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as pressões $ P_1 $ e $ P_2 $ nas altitudes $ y_1 = 4267 , m $ e $ y_2 = 1567 , m $, respectivamente, usando a equação fornecida:
Substituindo os valores:
Passo 4
Perceba que o expoente na equação de pressão está muito grande devido ao valor de $ a $. Isso indica que a pressão varia exponencialmente com a altitude. Porém, na prática, valores tão altos de $ a $ não são realistas, então vamos assumir que houve um erro de digitação e que $ a = 1,16 \times 10^{-4} , m^{-1} $.
Então, recalculando as pressões:
Passo 5
Agora que temos $ P_1 $ e $ P_2 $, podemos usar a relação adiabática para encontrar a temperatura final $ T_2 $. A temperatura inicial $ T_1 $ é de $ 25,00^{\circ} C $, que em Kelvin é:
Aplicando a fórmula:
Simplificando o expoente:
Então:
Calculando a razão:
Então:
Calculando $ (0,534)^{0,25} $:
Portanto:
Convertendo para Celsius:
Resposta
A temperatura do ar após a descida é aproximadamente
.