Discuta os valores dos limites (podem não existir):
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2x^2 y^2+(x-y)^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = lim(x,y)to(0,0) x^2y^2x^2y^2 + (x-y)^2
Para decidir se esse limite existe, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e investigar valores diferentes obtidos por diferentes curvas que se aproximam de (0,0).

Passo 2

Considere a aproximação ao longo da reta y=0. Então
x^2y^2 = x^2cdot0^2 = 0, (x-y)^2 = (x-0)^2 = x^2,
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x^2y^2x^2y^2 + (x-y)^2 = 00 + x^2 = 0
Portanto, ao longo de y=0, o valor da função tende a 0.

Passo 3

Agora, siga a reta y=x. Temos
x^2y^2 = x^2cdot x^2 = x^4, (x-y)^2 = (x-x)^2 = 0,
então
x^2y^2x^2y^2 + (x-y)^2 = x^4x^4 + 0 = 1
Assim, ao longo de y=x, o valor da função tende a 1.

Passo 4

Vimos valores diferentes ( 0 e 1) conforme a reta escolhida, o que já indica não existir limite único. Para ficar ainda mais claro, escolhemos uma curva que gera qualquer valor intermediário. Seja
y = x - kx^2,
com parâmetro kinR. Então
x-y = kx^2,
x^2y^2 = x^2(x - kx^2)^2 = x^4(1 - 2k x + k^2 x^2),
e
x^2y^2 + (x-y)^2 = x^4(1 - 2k x + k^2 x^2) + k^2x^4 = x^4l(1 - 2k x + k^2 x^2 + k^2r)
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x^2y^2x^2y^2 + (x-y)^2 = 1 - 2k x + k^2 x^21 - 2k x + k^2 x^2 + k^2 ;xrightarrow[xto0]; 11 + k^2
Variando k, tfrac11+k^2 descreve todo o intervalo (0,1]. Além disso, já tivemos ,0 no Passo 2. Assim, o conjunto de valores de acumulação é [0,1].

Passo 5

Como o valor do quociente depende do caminho de aproximação (podendo tender a qualquer ponto de [0,1]), não existe um único limite em (0,0).

Resposta

O limite não existe. Em particular
liminf(x,y)to(0,0) = 0, limsup(x,y)to(0,0) = 1,
e o conjunto de valores de acumulação é [0,1].

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