Discuta os valores dos limites (podem não existir):
Passo 1
O enunciado pede o limite
Para decidir se esse limite existe, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e investigar valores diferentes obtidos por diferentes curvas que se aproximam de .
Passo 2
Considere a aproximação ao longo da reta . Então
logo
Portanto, ao longo de , o valor da função tende a .
Passo 3
Agora, siga a reta . Temos
então
Assim, ao longo de , o valor da função tende a .
Passo 4
Vimos valores diferentes ( e ) conforme a reta escolhida, o que já indica não existir limite único. Para ficar ainda mais claro, escolhemos uma curva que gera qualquer valor intermediário. Seja
com parâmetro . Então
e
Logo
Variando k, tfrac11+k^2 descreve todo o intervalo (0,1]. Além disso, já tivemos ,0 no Passo 2. Assim, o conjunto de valores de acumulação é [0,1].
Passo 5
Como o valor do quociente depende do caminho de aproximação (podendo tender a qualquer ponto de [0,1]), não existe um único limite em (0,0).