Q. 4 (30 pontos) Encontre a solução da EDO.

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 8y' + 16y = 6 e^4xx^2 + 1
para encontrar a solução geral. Vamos usar o método clássico: primeiro achar a solução da homogênea pelo polinômio característico; em seguida buscar uma solução particular via substituição yp = v(x)e^4x.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 8y' + 16y = 0
cujos coeficientes resultam na equação característica
r^2 - 8r + 16 = 0
Essa equação tem raiz dupla r=4. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^4x + C2,x,e^4x

Passo 3

Para construir uma solução particular, usamos a substituição
yp(x) = v(x)e^4x
Derivando, obtemos
yp' = v' e^4x + 4v e^4x
yp'' = v'' e^4x + 8v' e^4x + 16v e^4x
Substituindo em y'' - 8y' + 16y, as dependências em v cancelam, restando
v''(x)e^4x = 6e^4xx^2 + 1
ou seja
v''(x) = 6x^2 + 1

Passo 4

Agora integramos duas vezes v''(x). Primeiro,
v'(x) = integral 6x^2+1,dx = 6arctan(x) + K1
Em seguida,
v(x) = integral l(6arctan(x) + K1r),dx = 6xarctan(x) - 3ln(x^2+1) + K1 x + K2
Os termos K1 x e K2 geram combinações de e^4x e x e^4x, já presentes em yh, então podemos descartá-los para obter um particular. Assim escolhemos
v(x) = 6xarctan(x) - 3ln(x^2+1)
e
yp(x) = e^4xl(6xarctan(x) - 3ln(x^2+1)r)

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^4x + C2,x,e^4x + e^4xl(6xarctan(x) - 3ln(x^2+1)r)

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