Q. 4 (30 pontos) Encontre a solução da EDO.
Passo 1
O enunciado pede resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
para encontrar a solução geral. Vamos usar o método clássico: primeiro achar a solução da homogênea pelo polinômio característico; em seguida buscar uma solução particular via substituição
.
Passo 2
A parte homogênea é
cujos coeficientes resultam na equação característica
Essa equação tem raiz dupla
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para construir uma solução particular, usamos a substituição
Derivando, obtemos
Substituindo em
, as dependências em
cancelam, restando
ou seja
Passo 4
Agora integramos duas vezes
. Primeiro,
Em seguida,
Os termos
e
geram combinações de
e
, já presentes em
, então podemos descartá-los para obter um particular. Assim escolhemos
e
Resposta
A solução geral da EDO é