Use o 1^0 Teorema da Translação para encontrar f(t) ou F(s) conforme o caso.
mathscrL[e^-2 t cos (4 t)]

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de exp(-2t)cos(4t) usando o Teorema da Translação no domínio s. Assim, vamos precisar do resultado básico
mathscrLcos(4t)(s)
e depois aplicar a propriedade de que a multiplicação por exp(at) em t corresponde ao deslizamento smapsto s-a na imagem.

Passo 2

Calculamos primeiro a transformada de Laplace de cos(4t). Sabemos que
mathscrLcos(4t)(s) =integral0^inftye^-stcos(4t),dt =ss^2+4^2 =ss^2+16

Passo 3

Pelo Teorema da Translação (primeiro teorema):
mathscrLe^atf(t)(s)=F(s-a),
onde F(s)=mathscrLf(t)(s). No nosso caso a=-2 e f(t)=cos(4t), de modo que
mathscrLe^-2tcos(4t)(s) =F(s-(-2)) =F(s+2)

Passo 4

Substituindo smapsto s+2 em F(s)=tfracss^2+16, obtemos
mathscrLe^-2tcos(4t)(s) =s+2(s+2)^2+16

Resposta

mathscrLe^-2tcos(4t)(s) =s+2(s+2)^2+16

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