Uma formiga está numa chapa de metal cuja temperatura em ( x, y ) é dada pela função temperatura T=T(x, y)=3 x^2 y-y^3 em graus centígrados. Quando ela está no ponto (5,1) sente frio e resolve deslocar-se na direção que a temperatura cai mais rapidamente. Dê o vetor unitário nesta direção e neste sentido.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y)=3x^2y - y^3
e diz que a formiga no ponto (5,1) quer seguir a direção em que a temperatura cai mais rápido. Em cálculo de funções de várias variáveis, a direção de maior aumento de T é dada pelo gradiente nabla T, e a de maior diminuição é dada por -nabla T. Vamos então achar nabla T e depois normalizar -nabla T(5,1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de T:
partial Tpartial x = partialpartial xl(3x^2y - y^3r) = 6xy,
partial Tpartial y = partialpartial yl(3x^2y - y^3r) = 3x^2 - 3y^2
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labelgradT nabla T(x,y) = llang<= 6xy,;3x^2-3y^2rrang<=

Passo 3

Avaliamos o gradiente em (5,1):
nabla T(5,1) = llang<= 6cdot5cdot1,;3cdot5^2-3cdot1^2rrang<= = lang<= 30,;75-3rang<= = lang<= 30,;72rang<=

Passo 4

A direção de maior decaimento de T é o vetor
-nabla T(5,1) = lang<= -30,,-72rang<=

Passo 5

Para tornar isso um vetor unitário, calculamos a norma de lang<= -30,-72rang<=:
l|lang<= -30,-72rang<=r| = raiz(-30)^2+(-72)^2 = raiz900+5184 = raiz6084 = 78
Dividindo cada componente por 78 obtemos
lang<= -3078,,-7278rang<= = lang<= -513,,-1213rang<=

Resposta

(-513,,-1213)

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