Discuta os valores dos limites (podem não existir):
\lim _{x\to y} \frac{x^{4} y^{4}}{x^{4}+5 y^{12}}

Passo 1

O enunciado pede que, para cada valor fixo de y, a gente calcule
\lim_{x\to y}\frac{x^{4}y^{4}}{x^{4}+5y^{12}}.
Isso é um limite de função de uma variável ( x) com parâmetro ( y). Vamos discutir separadamente o caso y=0 e o caso y\neq0.

Passo 2

Caso y=0.
Se y=0, a expressão fica, para x\neq0,
\frac{x^{4}\cdot0^{4}}{x^{4}+5\cdot0^{12}} =\frac{0}{x^{4}}=0.
Logo
\lim_{x\to0}\frac{x^{4}\,0^{4}}{x^{4}+5\cdot0^{12}}=0.

Passo 3

Caso y\neq0.
Aqui o denominador em x=y é
y^{4}+5y^{12}=y^{4}\bigl(1+5y^{8}\bigr)\neq0,
logo a função em x é contínua no ponto x=y. Assim basta substituir x=y:
\lim_{x\to y}\frac{x^{4}y^{4}}{x^{4}+5y^{12}} =\frac{y^{4}y^{4}}{y^{4}+5y^{12}} =\frac{y^{8}}{y^{4}(1+5y^{8})} =\frac{y^{4}}{1+5y^{8}}.

Passo 4

Unindo os dois casos, notamos que, para y=0, a fórmula \tfrac{y^{4}}{1+5y^{8}} também dá 0. Portanto, para todo y\in\mathbb{R},
\lim_{x\to y}\frac{x^{4}y^{4}}{x^{4}+5y^{12}} =\frac{y^{4}}{1+5y^{8}}.

Resposta

\lim_{x\to y}\frac{x^{4}y^{4}}{x^{4}+5y^{12}} =\frac{y^{4}}{1+5y^{8}}, \quad y\in\mathbb{R}.

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