Discuta os valores dos limites (podem não existir): \lim _{(x, y) \rightarrow(-\infty, -\infty)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2} y^{3}\right)}{x y^{2}} Passo 1O enunciado pede o valor do limite \lim_{(x,y)\to(-\infty,-\infty)}\frac{\sin\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)}{x\,y^{2}} quando x e y tendem simultaneamente a -\infty. O conteúdo principal aqui é tratar um limite em várias variáveis usando o fato de que a função \sin é limitada e aplicar o teorema do confronto (squeeze theorem). Passo 2Observamos que, para todo real t, vale -1 \le \sin(t) \le 1 logo, colocando t = x^2 y^3, temos \biggl|\frac{\sin\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)}{x\,y^{2}}\biggr| \le \frac{1}{\bigl|x\,y^{2}\bigr|}. Passo 3Quando x\to -\infty e y\to -\infty, temos |x|\to\infty e |y|^2\to\infty, portanto \frac{1}{\bigl|x\,y^{2}\bigr|}\,\longrightarrow\,0. Passo 4Pelo teorema do confronto, como -\frac{1}{|x\,y^{2}|}\;\le\;\frac{\sin(x^{2}y^{3})}{x\,y^{2}}\;\le\;\frac{1}{|x\,y^{2}|} e a cota 1/(|x|\,|y|^{2}) tende a zero, concluímos que \frac{\sin(x^{2}y^{3})}{x\,y^{2}}\;\longrightarrow\;0 quando (x,y)\to(-\infty,-\infty). RespostaO limite existe e vale 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDiscuta os valores dos limites (podem não existir): \lim _{x\to y} \frac{x^{4} y^{4}}{x^{4}+5 y^{12}} O potencial elétrico V(x, y) em certas placas é dado por V(x, y)=\frac{x^{3}}{3+y^{2}} e uma partícula encontra-se no ponto x_{0}=2 e y=-1. (i) Encontre o valor do potencial z_{0}=V(x_{0}, y_{0}) e diga se ele cresce ou decresce na direção do vetor \vec{u}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \vec{j} ? Justifique. (ii) Indique, neste ponto, em qual direção no plano (x, y) o potencial cresce mais rapidamente, e qual o valor dessa taxa de crescimento. (iii) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico do potencial no ponto (x_{0}, y_{0}, z_{0}). Considere a curva \vec{a}(t)=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j} de classe C^{1}. Discuta se existe uma função f de classe C^{2} no plano, de modo que a derivada total de f(x(t), y(t)) seja \frac{d f}{d t}=x^{2} y(t)+c^{2} y(t) . Questão 01 Calcule: \begin{aligned} & \int_{0}^{2} \int_{0}^{z^{2}} \int_{0}^{y-z}(2 x-y) d x d y d z \\\ & \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 z} \int_{0}^{\ln x} x e^{-y} d y d x d z \\\ & \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{x} \cos (x+y+z) d z d x d y \\\ & \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x z} x^{2} \operatorname{sen} y d y d z d x \end{aligned}