Discuta os valores dos limites (podem não existir):
\lim _{(x, y) \rightarrow(-\infty, -\infty)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2} y^{3}\right)}{x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(-\infty,-\infty)}\frac{\sin\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)}{x\,y^{2}}
quando x e y tendem simultaneamente a -\infty. O conteúdo principal aqui é tratar um limite em várias variáveis usando o fato de que a função \sin é limitada e aplicar o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Observamos que, para todo real t, vale
-1 \le \sin(t) \le 1
logo, colocando t = x^2 y^3, temos
\biggl|\frac{\sin\bigl(x^{2}y^{3}\bigr)}{x\,y^{2}}\biggr| \le \frac{1}{\bigl|x\,y^{2}\bigr|}.

Passo 3

Quando x\to -\infty e y\to -\infty, temos |x|\to\infty e |y|^2\to\infty, portanto
\frac{1}{\bigl|x\,y^{2}\bigr|}\,\longrightarrow\,0.

Passo 4

Pelo teorema do confronto, como
-\frac{1}{|x\,y^{2}|}\;\le\;\frac{\sin(x^{2}y^{3})}{x\,y^{2}}\;\le\;\frac{1}{|x\,y^{2}|}
e a cota 1/(|x|\,|y|^{2}) tende a zero, concluímos que
\frac{\sin(x^{2}y^{3})}{x\,y^{2}}\;\longrightarrow\;0
quando (x,y)\to(-\infty,-\infty).

Resposta

O limite existe e vale 0.

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