Considere a curva \vec{a}(t)=x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j} de classe C^{1}. Discuta se existe uma função f de classe C^{2} no plano, de modo que a derivada total de f(x(t), y(t)) seja
\frac{d f}{d t}=x^{2} y(t)+c^{2} y(t) .

Passo 1

O enunciado pede para decidir se existe uma função f\in C^{2}(\mathbb{R}^{2}) tal que, ao percorrermos a curva \vec a(t)=(x(t),y(t)) de classe C^{1}, vale
\frac{d}{dt}\bigl[f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\bigr] = x(t)^{2}\,y(t)+c^{2}\,y(t).
O conteúdo principal é a Regra da Cadeia em multivariáveis, seguida de uma discussão de existência de extensões C^{2} a partir de dados ao longo de uma curva.

Passo 2

Pela Regra da Cadeia, para qualquer f\in C^{2} teríamos ao longo da curva
\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \frac{\partial f}{\partial x}(x(t),y(t))\,x'(t) + \frac{\partial f}{\partial y}(x(t),y(t))\,y'(t).
Queremos que esse lado direito seja exatamente
x(t)^{2}\,y(t)+c^{2}\,y(t).

Passo 3

Definamos a função auxiliar unidimensional
g(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr).
Então a condição desejada é
g'(t)=x(t)^{2}\,y(t)+c^{2}\,y(t).
Isso é uma simples ODE para g, com solução
g(t) = \int_{t_{0}}^{t}\bigl[x(s)^{2}+c^{2}\bigr]\,y(s)\,ds \;+\;K,
onde K é constante de integração.

Passo 4

Portanto a única restrição que temos é determinar f ao longo da imagem da curva, via
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \int_{t_{0}}^{t}\bigl[x(s)^{2}+c^{2}\bigr]\,y(s)\,ds+K.
Isso fixa f somente nos pontos (x(t),y(t)). Para pontos fora da curva, não há nenhuma outra condição.

Passo 5

Como \{(x(t),y(t)):t\in I\} é um sub-conjunto suave do plano e a função t\mapsto g(t) é C^{1}, vale o Teorema de Extensão de Whitney: podemos estender f de classe C^{2} definida inicialmente sobre a curva para toda \mathbb{R}^{2}, preservando C^{2}.

Passo 6

Concluímos então que existe pelo menos uma (na verdade infinitas) funções f\in C^{2}(\mathbb{R}^{2}) que satisfazem
\frac{d}{dt}f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = x(t)^{2}\,y(t)+c^{2}\,y(t).
A não-unicidade vem do fato de que fora da curva podemos escolher livremente os valores de f e suas derivadas de primeira ordem, sem quebrar a condição imposta.

Resposta

Existe sim, e de maneira não única: basta definir
f\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \int_{t_{0}}^{t}\bigl[x(s)^{2}+c^{2}\bigr]\,y(s)\,ds+K
na curva e, por Whitney, estender f a C^{2} em todo o plano.

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