Considere a curva
de classe
. Discuta se existe uma função
de classe
no plano, de modo que a derivada total de
seja
Passo 1
O enunciado pede para decidir se existe uma função
tal que, ao percorrermos a curva
de classe
, vale
O conteúdo principal é a Regra da Cadeia em multivariáveis, seguida de uma discussão de existência de extensões
a partir de dados ao longo de uma curva.
Passo 2
Pela Regra da Cadeia, para qualquer
teríamos ao longo da curva
Queremos que esse lado direito seja exatamente
Passo 3
Definamos a função auxiliar unidimensional
Então a condição desejada é
Isso é uma simples ODE para
, com solução
onde
é constante de integração.
Passo 4
Portanto a única restrição que temos é determinar
ao longo da imagem da curva, via
Isso fixa
somente nos pontos
. Para pontos fora da curva, não há nenhuma outra condição.
Passo 5
Como
é um sub-conjunto suave do plano e a função
é
, vale o Teorema de Extensão de Whitney: podemos estender
de classe
definida inicialmente sobre a curva para toda
, preservando
.
Passo 6
Concluímos então que existe pelo menos uma (na verdade infinitas) funções
que satisfazem
A não-unicidade vem do fato de que fora da curva podemos escolher livremente os valores de
e suas derivadas de primeira ordem, sem quebrar a condição imposta.
Resposta
Existe sim, e de maneira não única: basta definir
na curva e, por Whitney, estender
a
em todo o plano.