Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes.

Passo 1

O enunciado dá uma afirmação única e pede que a veracidade seja discutida e justificada algébrica e geometricamente. A afirmação é:
“Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes.”
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • Há duas retas no plano (chamo-as de reta 1 e reta 2).
  • As duas retas têm o mesmo coeficiente angular (mesmo declive, mesmo m).
  • Preciso decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumentos algébricos e geométricos, explicando também por que certas formas algébricas funcionam ou falham em casos específicos.

Passo 2

Definições e formas algébricas básicas (com explicação do que cada símbolo significa), para termos ferramentas claras.
  • Forma reduzida (coeficiente angular-interseção):
y = m x + b.
Aqui m é o coeficiente angular (inclinação/declive) da reta e b é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). A reta inteira é determinada pelos dois números m e b.
  • Forma geral:
a x + b y + c = 0,
onde a, b, c são constantes e não são todas nulas. Nesta forma, o vetor normal da reta é (a,b). O coeficiente angular m (quando a reta não é vertical) pode ser obtido por
m = -\frac{a}{b},
porque isolando y vem y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}.
Observação sobre casos:
  • Retas não-verticais: podem ser escritas como y=mx+b e têm coeficiente angular bem definido m.
  • Retas verticais: têm equação x = k. Nessas, o coeficiente angular é indefinido (ou «infinito»); duas retas verticais têm a mesma direção (ambas são verticais) mas podem ser coincidentes ou paralelas distintas dependendo do valor de k.

Passo 3

Análise algébrica simples que já revela o problema da afirmação.
Considere duas retas não-verticais com o mesmo m:
\text{Reta 1: } y = m x + b_1, \qquad \text{Reta 2: } y = m x + b_2.
Subtraindo as duas equações:
0 = (m x + b_1) - (m x + b_2) = b_1 - b_2.
Logo, para que as duas equações sejam idénticas (mesma reta), é necessário e suficiente que
b_1 = b_2.
Se b_1 \neq b_2, então as equações não são idênticas: as retas têm a mesma inclinação m mas interceptos diferentes, portanto são retas paralelas distintas, não coincidentes. Portanto, o mesmo coeficiente angular sozinho não garante coincidência — falta a igualdade dos interceptos.
Exemplo numérico (contra-exemplo):
y = 2x + 1 \quad\text{e}\quad y = 2x + 3.
Ambas têm m=2, mas b_1=1\neq b_2=3. São paralelas e distintas (não se interceptam), logo não coincidentes. Isso já mostra que a afirmação é falsa.

Passo 4

Interpretação geométrica — por que esse comportamento acontece.
  • O coeficiente angular m determina a direção da reta (a inclinação). Duas retas com o mesmo m apontam exatamente na mesma direção: elas são “paralelas” em termos de direção.
  • Geometricamente, duas retas com a mesma direção são ou:
    • a mesma reta (coincidentes), se ocupam exatamente todos os pontos uma sobre a outra; ou
    • retas paralelas distintas, deslocadas uma da outra, sem pontos em comum.
  • A igualdade do coeficiente angular garante igualdade da direção, mas não garante que o deslocamento (a posição absoluta no plano) seja o mesmo. Para coincidir, além da mesma direção é preciso que não haja deslocamento entre elas — isto é, o termo que define a posição (o coeficiente linear b, ou, em forma geral, o termo c) também tenha que “coincidir” de forma compatível.

Passo 5

Análise com a forma geral e condição necessária e suficiente para duas equações representarem exatamente a mesma reta.
Se temos duas retas dadas por
a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \qquad\text{e}\qquad a_2 x + b_2 y + c_2 = 0,
elas representam a mesma reta (são coincidentes) se, e somente se, existe um escalar \lambda \neq 0 tal que
a_2 = \lambda a_1,\qquad b_2 = \lambda b_1,\qquad c_2 = \lambda c_1.
Isto significa que as três constantes são proporcionais; geometricamente isto diz que os dois vetores normais são proporcionais (mesma direção normal) e os termos constantes também “batem” para a mesma posição.
Se apenas
a_2 = \lambda a_1,\qquad b_2 = \lambda b_1
mas c_2 \neq \lambda c_1, então as normais são proporcionais (mesma direção normal → retas paralelas) mas os termos constantes não satisfazem a mesma proporção, então as retas são paralelas e distintas — não coincidentes.
Portanto algebraicamente a condição “mesmo coeficiente angular” se traduz (quando b_1,b_2\neq0) em
-\frac{a_1}{b_1} = -\frac{a_2}{b_2} \quad\Longleftrightarrow\quad a_1 b_2 = a_2 b_1,
que garante apenas que os vetores normais (a_1,b_1) e (a_2,b_2) são proporcionais (mesma direção), mas falta a condição sobre c_1 e c_2 para garantir coincidência.

Passo 6

Caso das retas verticais (slope indefinido) — tratamento especial.
  • Retas verticais têm equação \,x = k. Duas retas verticais \,x = k_1 e \,x = k_2 têm a mesma direção (são ambas verticais). Se k_1 = k_2 são a mesma reta (coincidentes). Se k_1 \neq k_2 são paralelas e distintas. Portanto o mesmo argumento vale: mesma direção não implica necessariamente coincidência.

Passo 7

Fórmula da distância entre duas retas paralelas (um reforço útil para interpretar a diferença entre paralelas distintas e coincidentes)
Para duas retas não-verticais
y = m x + b_1 \quad\text{e}\quad y = m x + b_2,
a distância entre elas é
\mathrm{dist}=\frac{|b_2-b_1|}{\sqrt{1+m^2}}.
Se b_2\neq b_1 essa distância é positiva → retas distintas; se b_2=b_1 a distância é zero → coincidem. Essa fórmula mostra quantitativamente por que a diferença nos termos independentes impede coincidência mesmo com m igual.

Passo 8

Resumo lógico final e resposta direta à afirmação.
  • A afirmação “Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes” é falsa.
  • Justificativa curta: ter o mesmo coeficiente angular garante apenas que as retas têm a mesma direção (são paralelas), mas para serem coincidentes é preciso também que coincidam os termos que fixam a posição (no caso de y=mx+b, que b seja o mesmo; no caso geral, que as três constantes sejam proporcionais). Contra-exemplo explícito: \,y=2x+1 e \,y=2x+3 têm o mesmo coeficiente angular 2 mas não são coincidentes.

Resposta

Falso.

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