Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes.
Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes.
Passo 1
O enunciado dá uma afirmação única e pede que a veracidade seja discutida e justificada algébrica e geometricamente. A afirmação é:
“Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes.”
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- Há duas retas no plano (chamo-as de reta 1 e reta 2).
- As duas retas têm o mesmo coeficiente angular (mesmo declive, mesmo
). - Preciso decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumentos algébricos e geométricos, explicando também por que certas formas algébricas funcionam ou falham em casos específicos.
Passo 2
Definições e formas algébricas básicas (com explicação do que cada símbolo significa), para termos ferramentas claras.
- Forma reduzida (coeficiente angular-interseção):
Aqui
é o coeficiente angular (inclinação/declive) da reta e
é o coeficiente linear (interseção com o eixo
). A reta inteira é determinada pelos dois números
e
.
- Forma geral:
onde
são constantes e não são todas nulas. Nesta forma, o vetor normal da reta é
. O coeficiente angular
(quando a reta não é vertical) pode ser obtido por
porque isolando
vem
.
Observação sobre casos:
- Retas não-verticais: podem ser escritas como
e têm coeficiente angular bem definido . - Retas verticais: têm equação
. Nessas, o coeficiente angular é indefinido (ou «infinito»); duas retas verticais têm a mesma direção (ambas são verticais) mas podem ser coincidentes ou paralelas distintas dependendo do valor de .
Passo 3
Análise algébrica simples que já revela o problema da afirmação.
Considere duas retas não-verticais com o mesmo
:
Subtraindo as duas equações:
Logo, para que as duas equações sejam idénticas (mesma reta), é necessário e suficiente que
Se
, então as equações não são idênticas: as retas têm a mesma inclinação
mas interceptos diferentes, portanto são retas paralelas distintas, não coincidentes. Portanto, o mesmo coeficiente angular sozinho não garante coincidência — falta a igualdade dos interceptos.
Exemplo numérico (contra-exemplo):
Ambas têm
, mas
. São paralelas e distintas (não se interceptam), logo não coincidentes. Isso já mostra que a afirmação é falsa.
Passo 4
Interpretação geométrica — por que esse comportamento acontece.
- O coeficiente angular
determina a direção da reta (a inclinação). Duas retas com o mesmo apontam exatamente na mesma direção: elas são “paralelas” em termos de direção. - Geometricamente, duas retas com a mesma direção são ou:
- a mesma reta (coincidentes), se ocupam exatamente todos os pontos uma sobre a outra; ou
- retas paralelas distintas, deslocadas uma da outra, sem pontos em comum.
- A igualdade do coeficiente angular garante igualdade da direção, mas não garante que o deslocamento (a posição absoluta no plano) seja o mesmo. Para coincidir, além da mesma direção é preciso que não haja deslocamento entre elas — isto é, o termo que define a posição (o coeficiente linear
, ou, em forma geral, o termo ) também tenha que “coincidir” de forma compatível.
Passo 5
Análise com a forma geral e condição necessária e suficiente para duas equações representarem exatamente a mesma reta.
Se temos duas retas dadas por
elas representam a mesma reta (são coincidentes) se, e somente se, existe um escalar
tal que
Isto significa que as três constantes são proporcionais; geometricamente isto diz que os dois vetores normais são proporcionais (mesma direção normal) e os termos constantes também “batem” para a mesma posição.
Se apenas
mas
, então as normais são proporcionais (mesma direção normal → retas paralelas) mas os termos constantes não satisfazem a mesma proporção, então as retas são paralelas e distintas — não coincidentes.
Portanto algebraicamente a condição “mesmo coeficiente angular” se traduz (quando
) em
que garante apenas que os vetores normais
e
são proporcionais (mesma direção), mas falta a condição sobre
e
para garantir coincidência.
Passo 6
Caso das retas verticais (slope indefinido) — tratamento especial.
- Retas verticais têm equação
. Duas retas verticais e têm a mesma direção (são ambas verticais). Se são a mesma reta (coincidentes). Se são paralelas e distintas. Portanto o mesmo argumento vale: mesma direção não implica necessariamente coincidência.
Passo 7
Fórmula da distância entre duas retas paralelas (um reforço útil para interpretar a diferença entre paralelas distintas e coincidentes)
Para duas retas não-verticais
a distância entre elas é
Se
essa distância é positiva → retas distintas; se
a distância é zero → coincidem. Essa fórmula mostra quantitativamente por que a diferença nos termos independentes impede coincidência mesmo com
igual.
Passo 8
Resumo lógico final e resposta direta à afirmação.
- A afirmação “Se duas retas do plano têm o mesmo coeficiente angular, então são coincidentes” é falsa.
- Justificativa curta: ter o mesmo coeficiente angular garante apenas que as retas têm a mesma direção (são paralelas), mas para serem coincidentes é preciso também que coincidam os termos que fixam a posição (no caso de
, que seja o mesmo; no caso geral, que as três constantes sejam proporcionais). Contra-exemplo explícito: e têm o mesmo coeficiente angular mas não são coincidentes.
Resposta
Falso.