Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que a afirmação diz e o que devo decidir. A afirmação é: “No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe.”
O que isso quer dizer, em termos práticos (informação dada): normalmente chama-se “forma simétrica” de uma reta em \mathbb{R}^3 a escrita
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
onde (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta e (a,b,c) é um vetor diretor da reta.
A pergunta implícita é: essa escrita (ou uma forma equivalente chamada “forma simétrica”) pode sempre ser obtida para qualquer reta no espaço? Preciso decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar algebricamente e geometricamente.

Passo 2

Vou explicar o que é cada forma de representação de uma reta e como se passa de uma para outra (a parte algébrica que você precisa dominar na prova).
Definição paramétrica (sempre válida): uma reta no espaço passando por (x_0,y_0,z_0)\) com vetor diretor \((a,b,c)\) pode sempre ser escrita em forma paramétrica como \[\begin{cases} x = x_0 + a t,\\[4pt] y = y_0 + b t,\\[4pt] z = z_0 + c t, \end{cases}
onde t\in\mathbb{R}\] é o parâmetro. Aqui \(x_0,y_0,z_0,a,b,c são números reais dados; note que não há divisão por zero nessa definição. Isso significa: a forma paramétrica existe sempre — é a forma mais básica e segura.
Conversão paramétrica \to forma simétrica: se a, b e c são todos diferentes de zero, podemos resolver as três equações paramétricas para t e igualá-las:
t=\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
Essa é a forma simétrica canônica. Então, algebraicamente, a passagem exige dividir por a,b,c; portanto precisa que esses três números não sejam zero.]

Passo 3

Mostro por que a existência da forma simétrica, no sentido da cadeia única de frações, depende de componentes não nulas (argumento algébrico).
Partimos da paramétrica:
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct.
Se a\neq0 então t=(x-x_0)/a. Se b\neq0 então t=(y-y_0)/b. Se c\neq0 então t=(z-z_0)/c. Para escrever
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
é necessário que as três expressões (x-x_0)/a, (y-y_0)/b, (z-z_0)/c sejam bem definidas, ou seja, a, b e c devem ser todos não nulos. Se algum desses for zero, divide-se por zero — operação proibida — e a cadeia de frações não existe no sentido literal.
Exemplo algébrico claro: considere vetor diretor (1,0,0) e ponto (0,0,0). A paramétrica é
x=t,\qquad y=0,\qquad z=0.
Tentar escrever
\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0}
é impossível porque aparecem divisões por zero. Logo a forma simétrica dessa maneira não existe.

Passo 4

Geometria por trás disso — por que intuitivamente isso faz sentido.
A forma simétrica \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c} diz, geometricamente, que os incrementos (x-x_0,y-y_0,z-z_0) da reta são sempre proporcionais ao vetor diretor (a,b,c). Essa igualdade de razões é natural quando o vetor diretor tem componente em todas as direções coordenadas: cada coordenada varia proporcionalmente ao parâmetro t.
Quando uma componente do vetor diretor é zero, por exemplo b=0, isso significa geometricamente que a reta não varia na direção y: a coordenada y é constante (a reta é paralela ao plano y=\text{const}). Nesse caso faz sentido dizer y=y_0 (uma igualdade simples) e as igualdades de razões só podem ser escritas entre as coordenadas que realmente variam. Ou seja, a geometria exige que tratemos a coordenada constante separadamente, não sob a forma de uma fração com denominador zero.

Passo 5

Como proceder na prova (receita prática que funciona sempre):
  • Passo seguro: sempre escreva a forma paramétrica; ela existe sem condições.
  • Se ao querer passar para forma simétrica você verificar a\neq0, b\neq0 e c\neq0, aí sim escreva
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
  • Se alguma componente for zero, adapte: para cada componente nula escreva a igualdade de coordenada constante; para as componentes não nulas escreva as razões entre elas. Exemplos:
    • Caso a=0, b\neq0, c\neq0: escreva
    x=x_0,\qquad \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
    • Caso a=0, b=0, c\neq0: escreva
    x=x_0,\qquad y=y_0,\qquad \frac{z-z_0}{c}\\ \text{livre (ou }z=z_0+ct\text{)}.
Essas escritas são equivalentes à descrição paramétrica e são geometricamente corretas: cada componente que não muda aparece como constante; as que mudam aparecem por razões entre si.

Passo 6

Mostro dois exemplos concretos, um onde a forma simétrica clássica existe e outro onde não:
Exemplo 1 (funciona): reta por (1,0,0) com diretor (2,3,4). Paramétrica:
x=1+2t,\quad y=0+3t,\quad z=0+4t.
Como 2, 3, 4 são todos não nulos, a forma simétrica é
\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{4}.
Exemplo 2 (não funciona em forma única): reta por (0,1,2) com diretor (0,5,1). Paramétrica:
x=0,\quad y=1+5t,\quad z=2+t.
Aqui a=0. Não se pode escrever \dfrac{x-0}{0}. A forma correta e equivalente é
x=0,\qquad \frac{y-1}{5}=\frac{z-2}{1}.
Ou manter a paramétrica. Note que a “cadeia única de três frações” não existe.

Passo 7

Conclusão final, com a justificativa direta: a afirmação “No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe” é falsa se interpretarmos “forma simétrica” como a expressão única
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}
porque essa expressão exige a, b e c todos não nulos (caso contrário há divisão por zero). Geometricamente, quando alguma componente do vetor diretor é zero a coordenada correspondente é constante e a forma simétrica na cadeia de três frações não é adequada; algebraicamente a divisão por zero impede a escrita. Entretanto, existe sempre uma representação equivalente combinando igualdades de coordenadas constantes e razões entre as coordenadas que variam, e a forma paramétrica é sempre válida.

Resposta

Falsa.

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