Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe.
No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que a afirmação diz e o que devo decidir. A afirmação é: “No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe.”
O que isso quer dizer, em termos práticos (informação dada): normalmente chama-se “forma simétrica” de uma reta em a escrita
O que isso quer dizer, em termos práticos (informação dada): normalmente chama-se “forma simétrica” de uma reta em
onde
é um ponto da reta e
é um vetor diretor da reta.
A pergunta implícita é: essa escrita (ou uma forma equivalente chamada “forma simétrica”) pode sempre ser obtida para qualquer reta no espaço? Preciso decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar algebricamente e geometricamente.
A pergunta implícita é: essa escrita (ou uma forma equivalente chamada “forma simétrica”) pode sempre ser obtida para qualquer reta no espaço? Preciso decidir se isso é verdadeiro ou falso e justificar algebricamente e geometricamente.
Passo 2
Vou explicar o que é cada forma de representação de uma reta e como se passa de uma para outra (a parte algébrica que você precisa dominar na prova).
Definição paramétrica (sempre válida): uma reta no espaço passando por
onde
são números reais dados; note que não há divisão por zero nessa definição. Isso significa: a forma paramétrica existe sempre — é a forma mais básica e segura.
Conversão paramétrica
forma simétrica: se
,
e
são todos diferentes de zero, podemos resolver as três equações paramétricas para
e igualá-las:
Essa é a forma simétrica canônica. Então, algebraicamente, a passagem exige dividir por
; portanto precisa que esses três números não sejam zero.]
Passo 3
Mostro por que a existência da forma simétrica, no sentido da cadeia única de frações, depende de componentes não nulas (argumento algébrico).
Partimos da paramétrica:
Se
então
. Se
então
. Se
então
. Para escrever
é necessário que as três expressões
,
,
sejam bem definidas, ou seja,
,
e
devem ser todos não nulos. Se algum desses for zero, divide-se por zero — operação proibida — e a cadeia de frações não existe no sentido literal.
Exemplo algébrico claro: considere vetor diretor
e ponto
. A paramétrica é
Tentar escrever
é impossível porque aparecem divisões por zero. Logo a forma simétrica dessa maneira não existe.
Passo 4
Geometria por trás disso — por que intuitivamente isso faz sentido.
A forma simétrica
diz, geometricamente, que os incrementos
da reta são sempre proporcionais ao vetor diretor
. Essa igualdade de razões é natural quando o vetor diretor tem componente em todas as direções coordenadas: cada coordenada varia proporcionalmente ao parâmetro
.
Quando uma componente do vetor diretor é zero, por exemplo
, isso significa geometricamente que a reta não varia na direção
: a coordenada
é constante (a reta é paralela ao plano
). Nesse caso faz sentido dizer
(uma igualdade simples) e as igualdades de razões só podem ser escritas entre as coordenadas que realmente variam. Ou seja, a geometria exige que tratemos a coordenada constante separadamente, não sob a forma de uma fração com denominador zero.
Passo 5
Como proceder na prova (receita prática que funciona sempre):
- Passo seguro: sempre escreva a forma paramétrica; ela existe sem condições.
- Se ao querer passar para forma simétrica você verificar
, e , aí sim escreva
- Se alguma componente for zero, adapte: para cada componente nula escreva a igualdade de coordenada constante; para as componentes não nulas escreva as razões entre elas. Exemplos:
- Caso
, , : escreva
- Caso
, , : escreva
- Caso
Essas escritas são equivalentes à descrição paramétrica e são geometricamente corretas: cada componente que não muda aparece como constante; as que mudam aparecem por razões entre si.
Passo 6
Mostro dois exemplos concretos, um onde a forma simétrica clássica existe e outro onde não:
Exemplo 1 (funciona): reta por
com diretor
. Paramétrica:
Como
,
,
são todos não nulos, a forma simétrica é
Exemplo 2 (não funciona em forma única): reta por
com diretor
. Paramétrica:
Aqui
. Não se pode escrever
. A forma correta e equivalente é
Ou manter a paramétrica. Note que a “cadeia única de três frações” não existe.
Passo 7
Conclusão final, com a justificativa direta: a afirmação “No espaço, a forma simétrica de uma reta sempre existe” é falsa se interpretarmos “forma simétrica” como a expressão única
porque essa expressão exige
,
e
todos não nulos (caso contrário há divisão por zero). Geometricamente, quando alguma componente do vetor diretor é zero a coordenada correspondente é constante e a forma simétrica na cadeia de três frações não é adequada; algebraicamente a divisão por zero impede a escrita. Entretanto, existe sempre uma representação equivalente combinando igualdades de coordenadas constantes e razões entre as coordenadas que variam, e a forma paramétrica é sempre válida.
Resposta
Falsa.